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管 综 数 学院 基 础 讲 义研究 学 教 研 考 都 文 北 湖 主讲老师：张娜 1 目录 第一章 算 术 .................................... 3 第一节 实 数 ................................... 3 知识点 1：有理数和无理数 ..................... 3 知识点 2：整除及运算 ......................... 4 知识点 3：质数、合数 ......................... 7 知识点 4：最大公约数和最小公倍数 ............. 8 院 知识点 5：奇数、偶数 ......................... 9 究 第二节 分数、小数、百分数 ...................... 11 学研 知识点 1：分数的定义及分类 .................. 11 教 知识点 2：小数的定义及分类 .................. 11 研 知识点 3：百分数 ............................ 12 考 第三节 比与比例 ................................ 14 文某某 知识点 1：比、比例的定义 .................... 14 北 知识点 2：正比例、反比例函数 ................ 14 湖 知识点 3：相关定理及性质 .................... 14 第四节 数轴与绝对值 ............................. 16 知识点 1：数轴 .............................. 16 知识点 2：绝对值 ............................ 16 2 第一章 算 术 第一节 实 数 知识点 1：有理数和无理数 1. 实数：有理数和无理数统称为实数.数轴上每个点都代表一个 实数，实数与数轴上的点是一一对应关系.实数集符号： R . 痨 痫 痫 痫痫痨正有理数痤痦痨正正分整数数 究院 实数痫痫痫痫痫痦有理数痫痫痫痤痫痦负0 有理数痤痦痨负负分整数数 饈有限小数，无限循环小数 学研 痫痫痫痤无理数痤痦痨负正无无理理数数 饈无限不循环小数 教 研 2.有理数：整数和分数统称为有理数.特别说明：能够用两个整 考 数比 A 表示的数为有理数.有理数集符号：Q . 都 B 3.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 文 4.有理数与无理数的运算 北 （1）有理数与有理数的加、减、乘、除仍为有理数 湖 （2）无理数与无理数的加、减、乘、除即可能是有理数，也可 能是无理数 （3）有理数与无理数的加、减为无理数 （4）若a,b为有理数，λ为任意无理数， a餷 = b ，则a=b=0 5.整数部分与小数部分 整数部分：不超过一个数的最大整数为这个数的整数部分 小数部分：一个数减去这个数的整数部分等于这个数的小数部分。 例如： 2 鸹 1.414 3 鸹 1.732 5 鸹 2.236 例 1 下列各式中正确的是（ ） A.两个无理数的和是无理数 3 B.两个无理数的乘积是无理数 C.两个无理数的乘积是有理数 D.一个有理数和一个无理数的乘积是无理数 E.一个有理数和一个无理数相加减，其结果是无理数 例 2 若 x, y 是有理数，且满足 (1+ 2 3)x + (1− 3) y − 2 + 5 3 = 0 ，则 x+y=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 E.5 院 例 3 把无理数 5 记作 a ，它的小数部分记作 b，则 a − 1 等于（ ） b A.1 B.-1 C.2 D.-2 究 E.以上均不对 研 学 知识点 2：整除及运算 教 1. 整数的定义 研 考 整数包括正整数、负整数和.所有整数构成的集合记为 Z . 都 痨正整数 文 整数痫痦 0 北 痫痤负整数 湖 2.整除：若整数 a 除以整数b ，商为整数，且余数为零，就说 a 能被 b 整除（或说 b 能整除 a ），也可说 a 是 b 的倍数，或b 是 a 的约 数（或因数，因子），记作 b a ，读作“ b 整除 a ”或“ a 能被b 整 除”. 注：作为除数，b 不能为零；此外，一般只考虑正整数范围内的 整除问题. 3.整除的两条基本性质 （1）如果 c b, b a, 则 c a . （2）如果 c b, c a, 对于任意整数 k1, k2, 有 c (k1a + k2b). 4.数整除的特点 4 能被 2 整除的数：个位数为 0、2、4、6、8 能被 3 整除的数：每一位上数字之和是 3 的倍数 能被 4/25 整除的数：最后两位某某 4/25 的倍数 能被 5 整除的数：个位某某 0 或 5 能被 6 整除的数：既是 2 的倍数，又是 3 的倍数 能被 7/11/13 整除的数：末三位数与末三位数以前的数字所表 示的数的差是 7/11/13 的倍数 能被 8 整除的数：末三位组成的数 8 倍数 能被 9 整除的数：每一位上数字之和是 9 的倍数 5.带余除法定理 设 a,b 均为整数，其中 b ? 0 ，则存在唯一的整数 q, r ，使得 院 a = qb + r,0 穑 r ? b 成立，其中 q 称为 a 被 b 除所得的不完全商，r 称为 余数。 注： 究 研 （1）由上述定理可得：若b ? 0 ，则b a 疔 带余除法中余数 r = 0 。 （2）利用带余除法定理可将整数集合分类. 学 若取 b = 2 ，则余数 r 为 0 或 1，则整数可分为 2q 和 2q +1，即奇数 教 和偶数。 研 若取 b = 4 ，则整数可分为 4q, 4q +1, 4q + 2, 4q + 3四类。 6.中国剩余定理 考 （1）通用形式 都 N 鸶A= 文 N鸶B= 北 N 鸶C= ......a ......b ......c 湖 求N = ? （2）余同加余 N 鸶 3 = ......1 N 鸶 4 = ......1 N 鸶 5 = ......1 求N = ? 总结：若一个整数 N 除以几个不同的除数，得到的余数相同，则 这个整数等于除数的最小公倍数加上这个相同的余数。 （3）和同加和 5 N 鸶 4 = ......3 N 鸶 5 = ......2 N 鸶 6 = ......1 求N = ? 总结：若一个整数 N 除以几个不同的除数，得到的除数与余数的 和相同时，则这个整数 N 等于除数的最小公倍数的倍数加上除数 与余数的和。 （4）差同减差 N 鸶 3 = ......1 N 鸶 4 = ......2 N 鸶 5 = ......3 求N = ? 院 究 总结：若一个整数 N 除以几个不同的除数，得到的除数与余数的 研 差相同时，则这个整数 N 等于除数的最小公倍数的倍数减去除数 与余数的差。 学 （5）逐步满足法（从除数最大的开始满足） 教 N 鸶 3 = ......1 研 N 鸶 5 = ......2 考 N 鸶 7 = ......3 都求N = ? 文 例 4 某人手中握有一把玉米，若 3 粒一组取出，则余 1 粒，若 北 5 粒一组取出，也余 1 粒，若 6 粒一组取出也余 1 粒，则这把玉 湖 米最少有（ ）粒 A. 28 B. 39 C. 51 D.91 E.31 例 5 自然数 n 各位数字的积为 6 （1） n 除以 5 余 3 且除以 7 余 2 的最小自然数 （2） n 是形如 24m(m 鹞 Z + ) 的最小正整数 例 6 n +14 是整数 15 6 （1） n 是整数， n + 2 是整数 3 （2） n 是整数， n + 4 是整数 5 知识点 3：质数、合数 1.质数：对于一个大于1的整数，只有1和它本身这两个正因数。 合数：除了1和它本身之外，还有其他正因数。 2.质数与合数有如下重要性质： （1）1既不是质数，也不是合数. （2）2是最小的质数，也是唯一的偶质数. 院 （3）4是最小的合数，第一次出现两个合数相邻：8和9 （4）20以内的质数与20以内的合数 究 20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19 研 20以内的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、19、20 学 （5）互质数：公约数只有1的两个数称为互质数. 3.质数分解定理 教 研 任意大于1的整数能表示成质数的乘积，即对于任意的 a ?1， 考 则存在质数 b1,b2,餖,bn 使得 a = b1 鹱b2 鹱餖鹱bn ，且这样的分解式唯一。 都 文 例 7 1374 除以某质数，余数为 9，则这个质数为（ ） A.7 北 B.11 C.13 D.17 E.19 湖 例 8 若几个质数的乘积为 770，则它们的和为（ ） A.85 B.84 C.28 D.26 E.25 例 9 a + b + c + d + e 的最大值为 133 （1） a,b,c, d,e 是大于 1 的自然数，且 abcde = 2700 （2） a,b,c, d,e 是大于 1 的自然数，且 abcde = 2000 7 知识点 4：最大公约数和最小公倍数 1.公约数和公倍数的定义 公约数：如果一个整数同时是几个整数的约数，则称这个整 数为它们的公约数。公约数中最大的称为最大公约数. 公倍数：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的 倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数.这些公倍数中最小 的那个称为这些正整数的最小公倍数. 注：最小公倍数用中括号表示，最大公约数用小括号表示. 2. (a,b)与 餥a,b餧的求法 （1）列举法： 院 求 (24，32)和 餥24,32餧 究 求 (15，45)和 餥15,45餧 研 学 教 （2）质因数分解法：将每个整数进行质因数分解，在质因数分 解的表达式中寻找出现过的所有质数，则 研 (a, b) =所 有 质 数 的 最 低 次 幂 的 乘 积 都考 餥a,b餧=所有质数的最高次幂的乘积 文 求 (24，32)和 餥24,32餧 湖北 求 (15，45)和 餥15,45餧 （3）短除法： 方法：用短除法求几个整数的最大公约数，将这几个整数用 公约数去除，直到剩余的数整体互质为止，这时最大公约数 等于短除号左侧所有数的乘积。用短除法求几个整数的最小 公倍数，将这几个整数用公约数去除，直到剩余的数两两互 质为止，这时最小公倍数等于短除号外所有数的乘积。 求 (24，32)和 餥24,32餧 8 求 (8,12,30)和 餥8,12,30餧 3. (a,b)与 餥a,b餧的关系 a 鸫b = (a,b)鸫餥a,b餧 例 10 n 是任意正整数，则 n3 − n 一定有约数（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 E.9 例 11 a,b 的最大公约数是 30，最小公倍数是 18900 院 （1） a = 2100,b = 270 究 （2） a =140,b = 810 研 学 教 例 12 三个自然数 a,b,c 的最小公倍数为 60，又已知 a,b 的最大公 研 约数为 4，a,c 的最大公约数为 2，b,c 的最大公约数为 6，则 a + b + c 的最小值为（ ） 都考 A.25 B.32 C.38 D.42 E.46 文 北 例 13 一次会餐共有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用了 65 湖 瓶；平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料，每 3 个人饮用一瓶 B 饮料， 每 4 个人饮用一瓶 C 饮料，则参加会餐的人数是（ . ）人 A.36 B.40 C.60 D.72 E.84 知识点 5：奇数、偶数 1. 定义 （1）偶数：整数中，能被 2 整除的数是偶数，可表示为 2n 或 n(n +1) （2）奇数：整数中，不能被 2 整除的数是奇数，奇数可用 2n +1表 示，这里 n 是整数.奇数包括正奇数、负奇数. 9 2.关于奇数和偶数，有下面的性质： （1） 奇数 鸨 奇数 = 偶数 奇数鸫 奇数 = 奇数 奇数 鸨 偶数 = 奇数 奇数鸫 偶数 = 偶数 偶数 鸨 偶数 = 偶数 偶数鸫 偶数 = 偶数 （2）若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性，即 a+b 与 a-b 同为奇数或同为偶数. （3）两个连续的整数必定是一个为奇数，另一个为偶数。 例 14 已知 a,b,c 三个数中有两个是奇数，一个是偶数，n 是整数， 如果 S = (a + n +1) + (b + 2n + 2) + (c + 3n + 3) ，那么 （） 院 A. S 是偶数 究 B. S 是奇数 研 C.当 n 是偶数时， S 是偶数；当 n 是奇数时， S 是奇数 学 D.当 n 是偶数时， S 是奇数；当 n 是奇数时， S 是偶数 E. S 的奇偶性不能确定 教 研 例 15 x 一定是偶数 考 都 （1） x = n2 + 3n + 2(n 鹞 Z) 北文 （2） x = n2 + 4n + 3(n鹞 Z ) 湖 例 16 设 m,n 都是自然数，则 m=2 （1） n 鸸 2, m + n 为奇数 （2）m 与 n 都是质数 10 第二节 分数、小数、百分数 知识点 1：分数的定义及分类 1.分数的定义 把单位“1”或整体“1”平均分成若干份,表示这样的一份或 几份的数叫做分数.表示为： A . B 2.分数的分类 （1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数. （ 2）假 分 数 ：分 子 大 于 或 等 于 分 母 的 分 数 叫 假 分 数 ，假 分 数 大于 1 或等于 1. 院 （3）带分数：整数与真分数相加所成的分数（或真分数与假 分数相加化简后的分数）.带分数就是将一个分数写成整数部 究 分加上一个真分数.带分数也是分数的一种. 知识点 2：小数的定义及分类 研 学 教 1.小数：由整数部分、小数部分和小数点组成. 研 2.小数的分类 都考 按照整数部分是否为零，可分为： 痨 纯小数（整数部分为零） 痤痦带小数（整数部分不为零） 文 按照小数点后数字的个数，可分为： 注： 痨有限小数（小数点后只有有限个数） 湖北痤痦无限小数（小数点后有无穷多个数） （1）纯小数：整数部分是零的小数,其绝对值一定小于 1.如： 0.12，0.945，0.403 等. （2）无限小数按照小数部分的数字是否循环，可分为： 痨 无限循环小数 痤痦无限不循环小数 . 3.循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字 或几个数字，依次不断地重复出现. (1)循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的 数字叫做这个循环小数的循环节.例如：0.33……的循环节是 11 “3” 表 示 为 ：0. • 3 ；2 .14 242 … … 的 循 环 节 是“ 42“ ,表 示 为 ： 2.1 • 4 • 2 . (2)纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的.（例如： 0.666……） (3)混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的.（例 如：0.5666……） 4.循环小数转化为分数 （1）纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分 数：分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是 9，“9”的个数同循环节的位数相同。 院 例： 0.a?b? = ab ， 0.3 = 3 = 1 ， 0.189 = 189 = 7 99 93 999 37 究 研 学 （2）混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分 教 数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所 研 组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个 数字是 9，末几位数字是 0，“9”字的个数同循环节的位数相同， 考 “0”字的个数和不循环部分的位数相同。例： 0.abc? = abc − ab 都 900 文 例 17 在计算一个正数乘以 3.57 的运算时，某同学误将 3.57 错写 北 作 3.57，结果与正确答案相差 1.4．则正确的乘积结果是（ ） 湖 A.640 B.641 C.642 D.643 E.644 知识点 3：百分数 1. 百分数 百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比。 百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“%”百分号来表示。 2. 百分数的重要应用 变化率 = 变化量 变前量 鸫100% = 现值 − 原值 原值 鸫100% . 12 A比B大r% 疔 A − B = r% 疔 A = B(1+ r%) B B比A小r% 疔 A − B = r% 疔 B = A(1− r%) A 院 究 研 学 教 研 考 都 文 北 湖 13 第三节 比与比例 知识点 1：比、比例的定义 （1）比：两个数相除，也称为这两个数的比.（如：a:b 表示 为 a 除以 b） （ 2）比 例 ：由 至 少 两 个 称 为 比 的 式 子 由 等 号 连 接 而 成 .（ 如 ： a:b=c:d），如果两个比 a : b 和 c : d 的比值相等，就称 a,b,c, d 成比例. 记为 a : b = c : d ，或 a = c .其中，a 和 d 叫做比例外项，b 和 c 叫做比 bd 例内项。 （3）二者区别：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比 值相等的比组合而成的. 院 知识点 2：正比例、反比例函数 究 研 若 y = kx(k 鸸 0) ，则称 y 与 x 成正比， k 称为正比例系数； 学 若 y = k (k 鸸 0) ，则称 y 与 x 成反正比， k 称为反比例系数. 教 x 研 知识点 3：相关定理及性质 考 1.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，即若 a :b = c : d ， 都 则 ad = bc 文 2.比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数， 北 比值不变，即 a : b = ka : kb 湖 3.增减性：设 a,b,m ? 0 ，则 当 0 ? a ? 1时，有 a ? a + m ，反之不一定成立 b b b+m 当 a ? 1时，有 a + m ? a ，反之不一定成立 b b+m b 4.关于比例的一些重要结论 （1）更比定理： a = c 疔 a = b bd cd （2）反比定理： a b = c d 疔 b a = d c （3）合比定理： a = c 疔 a + b = c 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 且 y + x − 2 = 1− a2. x − 2 = y −1− b2 ，则 考 （ 3x+y + 3a+b = ） 都 A.25 B.26 C.27 D.28 E.29 文 北 湖 x2 + 4xy + 5y2 + z + 1 = −2y −1 例 25 实数 x, y, z 满足条件 2 ，则 （4x −10 y)z = （ ） A. 6 2 B. − 6 2 C. 2 6 D. − 2 6 E. 6 6 例 26 已知| a −1|= 3,| b |= 4,b ? ab ，则| (a −1) − b |= （ ） A.1 B.7 C.5 D.16 E.3 17 例 27 f (x) 有最小值 2 （1） f (x) =| x − 5 | + | x − 1 | 12 12 （2） f (x) =| x − 2 | + | 4 − x | 例 28 | x − 4 | − | x − 3 |穑 a 对任意 x 都成立 （1） a 鸪 1 （2） a ? 1 院 究 研 学 教 研 考 都 文 北 湖 18 [文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

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