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4.2　换底公式

学习目标

1.能推导出对数的换底公式．(重点)

2．会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)

换底公式

阅读教材P83～P86有关内容，完成下列问题．

换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．

特别地，logab·logba＝1，logba＝

思考：换底公式的作用是什么？

[提示]　换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算．

1.的值为(　　)

A.　　　　　　 B．2

C. D．

B　[＝log39＝2log33＝2.]

2．若log32＝a，则log123可以用a表示为________．

　[log123＝＝＝]

3．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________.

9　[因为log34·log48·log8m＝2，

所以··＝2，

化简得lg m＝2lg 3＝lg 9.

所以m＝9.]

4．log29·log34＝________.

4　[log29·log34＝2log23·

＝2log24＝4log22

＝4.]

利用换底公式化简求值

【例1】　计算：log1627log8132.

[思路探究]　在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．

[解]　log1627log8132＝·＝·＝·＝.

1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．

2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；

loganbm＝logab.

1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．

[解]　原某某＝＝



＝·＝.

用已知对数表示其他对数

【例2】　已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.

[解]　法一：因为log189＝a，所以9＝18a，

又5＝18b，

所以log3645＝log2×18(5×9)

＝log2×1818a＋b

＝(a＋b)·log2×1818.

又因为log2×1818＝

＝＝

＝＝，

所以原某某＝.

法二：∵18b＝5，

∴log185＝b，

∴log3645＝＝

＝＝

＝

＝.

法三：∵log189＝a,18b＝5，

∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，

∴log3645＝

＝＝

＝.

用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：

?1?增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；

?2?巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；

?3?注意一些派生公式的使用.

2．(1)已知log142＝a，试用a表示log7.

(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245.

[解]　(1)法一：因为log142＝a，所以log214＝.

所以1＋log27＝.

所以log27＝－1.

由对数换底公式，

得log27＝＝.

所以log7＝2log27＝2＝.

法二：由对数换底公式，

得log142＝＝＝a.

所以2＝a(log7＋2)，

即log7＝.

(2)因为log245＝log2(5×9)＝log25＋log29＝log25＋2log23，而log52＝b，则log25＝，

所以log245＝2a＋＝.

对数的实际应用

[探究问题]

1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 　 B．　　　C．ab　 D．ba

B　[log5 3＝＝.]

3．log332·log227＝________.

15　[log332·log227＝·＝·＝15.]

4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半．(结果保留1个有效数字)

[解]　设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x.依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝，用科学计算器计算得x≈3.98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．

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