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典例解析

古典数学例题

【例1】在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例,如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?

如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系:

AC:BC=BC:2，即 BC2 =2AC.

解：设雕像下部高x m，可得方程x2=2(2-x)，整理得

x2＋2x—4=0.

X2+2x+1=5

(x+1)2=5

X+1=±

5

x=

5

?1或x=?

5

?1（舍去）

故雕像下部高为

5

?1m

国内外数学例题

【例2】(2015·*_**在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程．

解析：设花边的宽度为xm，则由图可知剩下部分的长为(2－2x)m，剩下部分的宽为(1.4－2x)m.∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.

方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．

一题多解

【例 3】 求解x2－6x + 9 = ( 5－2x) 2

解析： 公式法是最基础的解法; 左侧明显是一个完全平方式，因而可以对左侧进行改写，左右两侧都转化为平方式形式，通过移项可以进行因式分解，最终得出解。

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方法总结：公式法较因式分解法计算量大，耗时长。解法二通过方程改写，将一元二次方程降次为一元一次方程，不仅求解简单，还提高了解题效率。在求解一元二次方程时，应该养成先分析方程特征，再求解的解题习惯; 不应局限于基本的公式法; 打破思维定势，有利于拓展思维。

多解归一

在解题反思环节,要重视"一题多解"和“多解归—”,教师不能一题一解,而要在解法思路贯通之后,追问学生还有没有其他的解法,追求不同的解法,不同的解法往往能沟通多个领域的知识,从而培养发散思维.特别是,与追求一题多解相比，有经验的教师往往还会引导学生思考“多解归一”,即这个问题为什么会有不同解法,这些不同思路之间存在着怎样的共同点，并在此基础上揭示出问题的“深层结构”,多坚持这样的训练,潜移默化中,学生就会形成“解一题，会一类，通一片”的效果。

一元二次方程的初中奥数问题

【例4】增长率问题

恒利商厦九月份的销售额为200万元，士月份的锁售额下隆了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1-20%)(1+x)2=193.6，

即(1+x)2=1.21，解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1(舍去).

答：这两个月的平均增长率是10%.

方法总结：这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2=n求解。

立方体几何模型的应用

【例5】一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗?

解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4) m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8，整理，得x2+0.8x-1.8 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

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