微专题：柯西不等式与权方和不等式的妙用
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微专题：柯西不等式与权方和不等式的妙用
1.柯西不等式与权方和不等式的对比：
若
??
??
>0，
??
??
>0，则
柯西不等式（向量的数量积公式）
权方和不等式（柯西不等式的分式结构）
二 维
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1
2
+
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2
2
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1
2
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2
2
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三 维
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当且仅当
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1
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2
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时取等号。
2.权方和不等式：若
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>0，
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>0，??>0，则
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??+1
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1
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+
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2
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1
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2
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当且仅当
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1
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2
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2
=?=
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??
??
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时取等号。我们称为该不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.
【典型题示例】
例1 已知，，则的最小值为 .
例2 如图，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点(靠近 B 点)，则的最小值为 ．
例3 已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ．
例4 已知a＞0，b＞0，且则的最小值是 ．
例5 已知x＞1，y＞1，则的最小值是 ．
例6 已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ．
例7 已知正数满足，则的最小值为___________.
【巩固训练】
1.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是 ．
2. 已知正数满足，则的最小值为 .
3. 已知，则的最小值为 .
内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 两个等号同时成立．
例6 已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ．
【答案】【解析】
当，即，．
例7 已知正数满足，则的最小值为___________.
【答案】9【解析】即
【巩固训练】
1.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是 ．
2. 已知正数满足，则的最小值为 .
3. 已知，则的最小值为 .
4.已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是 ．
【答案与提示】
1.【答案】9【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10，
∴，且
∴，当且仅当时取“＝”．
2.【答案】【解析】
当且仅当，等号成立.
3.【答案】【解析】
当且仅当时,等号成立.
4.【答案】15【解析】x+y＝xy可化为，
题组训练
1.已知??、??为正实数，若??+??=??，则
??
??
+
??
??
的最小值为________。
2.设??>??，??>??，若??+??=??，则
??
?????
+
??
??
的最小值为________。
3.已知实数??、??满足??>??>??且??+??=??，则
??
??+????
+
??
?????
的最小值为________。
4.设??>??，??>??且
??
??+??
+
??
??+????
=??，则??+??的最小值为________。
5.设??、??为正实数且??+??=??，则
??
??
??+??
+
??
??
??+??
的最小值为________。
6.已知??>??，??>??，则
??
??
?????
+
??
??
?????
的最小值为________。
7.对任意实数??>??，??>
??
??
，不等式
??
??
???????
+
??
??
??
?????
≥
??
??
恒成立，则实数??的最大值为________。
8.已知??>??，??>??，??
??
??
=????????，则
??
????
??
+
??
????
??
的最小值为________。
9.若正实数??、??满足??+??=??，则
??
????
+
??
??+??
的最小值为________。
10.已知正实数??、??、??满足??+??+??=??，则
??
??
??+????
+
??
??
??+????
+
??
??
??+????
的最小值为________。
11.已知正实数??、??、??满足??????≥??，则
??
??
??+????
+
??
??
??+????
+
??
??
??+????
的最小值为________。
12.设??、??是正实数且??+??=??，则
??
??
??
+
??
??
??
的最小值为________。
13.已知??，??>??，
??
??
+
??
??
??
=??，则
??
??
+
??
??
的最小值为________。
14.已知??，??，??∈
??
+
且
??
??
??
+
??
??
??
+
??
??
??
=??，则??+??+??的最小值为________。
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