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中考数学压轴题解题策略

面积的存在性问题解题策略

2015年9月24日星期四

专题攻略

面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：

第一类，先根据几何法确定存在性，再列方某某求解，后检验方某某的根．

第二类，先假设关系存在，再列方某某，后根据方某某的解验证假设是否正确．

例题解析

例? 如图1-1，矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线y＝x2－6x＋10滑动，在滑动过程中CD//x轴，CD＝1，AB在CD的下方．当点D在y轴上时，AB落在x轴上．当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，
求点C的坐标．

图1-1

【解析】先求出CB＝5，再进行两次转化，然后解方某某．

把上下两部分的面积比为1∶4转化为S上∶S全＝1∶5或S上∶S全＝4∶5．

把面积比转化为点C的纵坐标为1或4．

如图1-2，C (3, 1)．如图1-3，
C(
, 4)或(3－
, 4)．

图1-2 图1-3

例? 如图2-1，二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1,－4)，AM与y轴相交于点C，在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB=S△BCM，如存在，求出点P的坐标．

图2-1

【解析】△BCM是确定的，△PBM与三角形BCM有公共边BM，根据“同底等高的三角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点C画BM的平行线与抛物线的交点就是点P．一目了然，点P有2个．

由y＝(x－1)2－4＝(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)，B(3,0)．由A、M，得C(0,－2)．

如图2-2，设P(x, x2－2x－3)，由PC//BM，得∠CPE＝∠BMF．所以
．

解方某某
，得
．所以
或
．

图2-2

例? 如图3-1，直线y＝x＋1与抛物线y＝－x2＋2x＋3交于A、B两点，点P是直线AB上方抛物线上的一点，四边形PAQB是平行四边形，当四边形PAQB的面积最大时，求点P的坐标．

图3-1

【解析】△PAB的面积最大时，平行四边形PAQB的面积也最大．

我们介绍三种割补的方法求△PAB的面积：如图3-2，把△PAB分割为两个共底PE的三角形，高的和等于A、B两点间的水平距离；如图3-3，用四边形PACB的面积减去△ABC的面积；如图3-4，用直角梯形ABNM的面积减去两个直角三角形的面积．

我们借用图3-2介绍一个典型结论．已知A(－1,0)、B(2, 3)，设P(x,－x2＋2x＋3)．

S△PAB＝S△PAE＋S△PBE＝
＝

＝
＝
．

当
时，△PAB的面积最大．
的几何意义是点E为AB的中
点，这是一个典型结论．同时我们可以看到，由于xB－xA是定值，因此当PE最大时，△PAB的面积最大．

图3-2 图3-3 图3-4

例? 如图4-1，在平行四边形A
BCD中，AB＝3，BC＝5，AC⊥AB，△ACD沿AC方向匀速平移得到△PNM，速度为每秒1个单位长度；同时点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度；当△PNM停止运动时，点Q也停止运动，如图4-2，设移动时间为t秒（0＜t＜4）．是否存
在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出
t的值；若不存在，请说明理由．

图4-1 图4-2

【解析】两步转化，问题就解决了．△QMC与△QPC是同底等高的三角形，△QPC是 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 0-1

【解析】先假设存在，再列方某某，如果方某某有解那么真的存在．

△ABC的周长为24，面积为24．

①如图10-2，点F在AC上，假设直线EF同时平分△ABC的周长和面积，那么AE＝x，AF＝12－x，
．解方某某
，得
．

当
，
，此时点F不在AC上．所以取
（如图10-3）．

②如图10-4，点F在BC上，假设直线EF同时平分△ABC的周长和面积，那么AE＝x，BE＝10－x，BF＝12－(10－x)＝2＋x，
．

方某某
整理，得
．此方某某无实数根．

图10-2 图10-3 图10-4

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