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几何体的外接球问题

基本模型

8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，

当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

A.cm3 / B.cm3 C.cm3 D.cm3

/

【答案】A.

3．(2021·八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________。

解析　圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝＝＝3，据此可得圆台的体积V＝π×3×(52＋5×4＋42)＝61π。

/

答案　61π

【例4】　(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆。若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)

A．64π B．48π

C．36π D．32π

解析　如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝OO＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π。故选A。

/

答案　A

3．(微考向3)(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　)

A. B.

C．1 D.

解析　由等边三角形ABC的面积为，得AB2＝，得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝×AB＝AB＝。设球的半径为R，则由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝＝1。故选C。

答案　C

直棱柱模型

（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
，体积为
，则这个球的表面积是（ C ）

A．
B．
C．
D．

　一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于某某，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．

　[设正六棱柱底面边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，则a＝，底面积为S＝6··2＝，V柱＝Sh＝h＝，∴h＝，R2＝2＋2＝1，R＝1，球的体积为V＝.]

[评析]　直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型如图：

/

其外接球球心就是上下底面外接圆圆心连线的中点．

（2）直三棱柱/的各顶点都在同一球面上，若/,/，则此球的表面积等于
。

1．(微考向1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)

A. B．2

C. D．3

解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M。又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝。

/

答案　C

2．(微考向2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，BC＝1，AB＝，AA1＝2，则该直三棱柱的外接球的体积为(　　)

A. B.

C. D.

解析　如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成长方体，则长方体的外接球即直三棱柱的外接 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，

∴OA2＝OE2＋AE2＝，

∴球O的表面积为S＝4πR2＝.

有公共直角边四面体的外接球问题

例3　(2020·**_*在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　)

A．π B．2π C．3π D．4π

答案　B

解析　取AB的中点O，

由AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，

所以CA2＋CB2＝AB2，AD2＋BD2＝AB2，

/

可得∠ACB＝∠ADB＝90°，

所以OA＝OB＝OC＝OD＝，

即O为外接球的球心，球的半径R＝，

所以四面体ABCD的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝2π.

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