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立体几何初步



暑期学过空间几何体的概要，初步了解了柱、锥、台和球的结构特征以及它们的表面积和体积的求法，本板块进行简单的回顾．

1．下列说法正确的是（ ）

A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥

B．有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台

C．有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱

D．棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形

2．将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的
倍，母线长为
，侧面积为
，则圆台较小底面的半径为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．一个底面棱长为
的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心
、
，则线段
的长为_______．

6．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是
___
．

7．一个长方体的全面积是
，所有棱长的和是
，则长方体的对角线长为______．

8．在半径为
的球的内部有一点，该点到球心的距离为
，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．



考点1：多面体和旋转体的表面积及体积



1．多面体的表面积和体积公式

名称

侧面积

全面积

体 积



棱

柱

棱柱

直截面周长









直棱柱









棱

锥

棱锥

各侧面面积之和









正棱锥









棱

台

棱台

各侧面面积之和









正棱台









表中
表示面积，
、
分别表示上、下底面周长，
表示高，
表示斜高，
表示侧棱长．

2．旋转体的表面积和体积公式

名称

侧面积

全面积

体 积



圆柱






（即
）



圆锥









圆台









球









表中
、
分别表示母线、高，
表示圆柱、圆锥的底面半径，
、
分别表示圆台的上、下底面半径，
表示球的半径．



提高班学案1

【铺1】⑴
已知六棱锥
的底面是边长为
的正六边形，点
在底面的投影是正六边形的

中心，且
，则该四棱锥的表面积为_____________，体积为_________．

⑵
正棱锥的高增为原来的
倍，底面边长缩为原来的
，那么体积（ ）

缩为原来的
B．增为原来的
倍 C．没有变化 D．以上结论都不对

⑴
若正方体的棱长为
，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

⑵
如图，点
、
分别在单位正方体
的
、

上，则三棱锥
的体积为________．

⑶
已知三个球的半径
、
、
满足
，则它们的

表面积
、
、
满足的等量关系是__________

⑷
已知平行四边形两邻边的长
和
，当它分别绕边
，
旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）

A．
　　　　B．
　　　C．
　　　 D．

【追问】三角形三条边长分别为
，当它分别饶三边旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）

A．
　　　　B．
　　　C．
　　　 D．

考点2：几何体的表面积体积综合



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⑴
正三角形
的边长为
，在画它的水平放置的直观图时，建立如下左图所示的直

角坐标系
，则它的直观图的面积是__________．

⑵
如下右图，正方形
的边长为
，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画

出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．

考点6：空间几何体的三视图



三视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，

一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；

一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主（正）视图；

和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左（侧）视图．

将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．



提高班学案3

【铺1】 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为
）．则该几何体的体积为
．

　　　　　　

⑴
一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（ ）

A．372 B．360 C．292 D．280

⑵
一个体积为
的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

⑶
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

　 　

尖子班学案3

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

目标班学案3

一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：
）为（ ）

A．
B．

C．
D．

⑴
一个几何体按比例绘制的三视图如图所示，则它的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

⑵
某几何体的一条棱长为
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为
和
的线段，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

将半径都为
的
个球完全放入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．



【演练1】设
表示平行六面体，
表示直平行六面体，
表示长方体，
表示正四棱柱，
表示正方体，则
，
，
，
，
的关系是（ ）

A．
B．

C．
D．

【演练2】如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（　 ）

A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 　B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台

C．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

【演练3】半径为
的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ．

【演练4】圆台上下底面面积之比为
，则圆台中截面分圆台所成两部分的体积之比
_____．（其中
）

【演练5】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为
的球面上．如果正四棱柱的底面边长为
，那么该棱柱的表面积为
．

【演练6】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为
、高某某
的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为
、高某某4的等腰三角形．

⑴ 求该几何体的体积
；

⑵ 求该几何体的侧面积
．



四面体
的对边长分别相等，
，
，
，求这个四面体外接球的直径．

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