三角函数 相似选题
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35．（2021·**_*·中考真题）如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G．于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为__________．
/
【答案】①②③④
【分析】
利用菱形的性质和全等三角形的判定证明①，利用AA定理证明△FCE∽△FGC，从而证明②，由含30°直角三角形的性质和平行线分线段成比例定理分析求解，从而证明③和④．
【详解】
解：在菱形ABCD中，AD=DC，∠ADB=∠CDB
又∵DF=DF
∴△ADF≌△CDF，
∴，故①正确；
∵AD∥BC
∴∠DAF=∠FEC
又①中已证△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，AF=CF
∴∠DCF=∠FEC
又∵∠CFG=∠CFG
∴△FCE∽△FGC，
∴，
即，故②正确；
∵在菱形中，，
∴∠DBC=∠BDC=30°
又∵
∴在Rt△DCF中，∠CDE=30°
∴
∴在菱形ABCD中，
又∵AD∥BC，
∴
由①已证AF=FC
∴
由②已证，
设FC=2k，EF=3k
∴FG=，EG=
∴，故③正确；
由③已知
设DF=2a，BF=3a
∴BD=5a
∴在Rt△BDE中，
在Rt△CDE中，
在Rt△DFH中，，
∴
∴在Rt△FCH中，
又由②③已证，，
设FG=4m，EG=5m，则EF=9m
∴，解得（负值舍去）
∴
∴，故④正确
故答案为：①②③④．
/
44．（2021·**_*·中考真题）（证明体验）
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
/
（思考探究）
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．
（拓展延伸）
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据SAS证明，进而即可得到结论；
（2）先证明，得，进而即可求解；
（3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解．
【详解】
解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）如图，在上取一点F，使得，连结．
/
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴．
47．（2021·**_*·中考真题）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）．DF交AC于点G，于点H，，．
/
（1）求．
（2）设，，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）．
（3）当时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
【答案】（1）；（2）y=(0；（3）EG⊥AC，理由见解析
【分析】
（1）过E作EM⊥AC于M，根据正方形的性质得出∠DAC=45°，AD=AB=BC=1，利用等腰三角形的性质得出EM=AM=，再利用正切的定义即可得出答案；
（2）过G作GN⊥AB于N，先证得四边形HANG为正方形，再证明△GNF△DAF，根据比利式即可得出结论；
（3）根据∠ADF=∠ACE和tan∠ACE=得出 AF=，根据（2）中的函数关系式得出HG=，从而得出△EHG为等腰直角三角形，继而得出E 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，
解得：，
∴AF=5；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，如图所示：
/
∵，，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∵GM⊥BC，GN⊥AP，AP⊥BC，
∴四边形GMPN是矩形，
∴，
设，
∴，
在Rt△ANG中，，
∵，
∴，
化简得：，
解得：，
∵，
∴当时，易知与相矛盾，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△DTC中，，
∴．
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