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4.3.1 对数的概念和性质

第 二 课 时

一、教材分析：

对数与指数是相通的，本节在已经学习指数的基础上通过梳理总结归纳对数的概念，通过对数的性质和恒等式解决一些与对数有关的问题.

二、教学目标与核心素养

课程目标

1、理解对数的概念以及对数的基本性质；

2、掌握对数式与指数式的相互转化；

数学学科素养

1.数学抽象：对数的概念；

2.逻辑推理：推导对数性质；

3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；

4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.

三、教学重难点：

重点：对数式与指数式的互化以及对数性质；

难点：推导对数性质．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

四、课前准备：多媒体。

五、教学过程：

（一）复习旧知，引入新课

1．对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．　

2．对数与指数的关系

若a＞0，且a≠1，则ax＝N（指数式） ? logaN＝x（对数式）.

3.对数的性质

(1)零和负数没有对数；

(2)1的对数为零；

(3)底的对数为1；

（4）对数恒等式1：logaax＝x(a＞0，且a≠1)．

（二）学习理论，学以致用。

1．常用对数与自然对数．

通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.

2.典例分析，举一反三．

题型一 指数式改写成对数式

例1 将下列指数式改写成对数式:

(1)24=16; (2)3-3=

1

27

; (3)5a=20; (4)(

1

2

)b=0.45 ;　

【答案】(1)log216=4. (2) log3

1

27

=-3. (3)log520=a 　 (4) lo

g

1

2

0.45=b.

题型二 对数式改写成指数式

例2 将下列对数式改写成指数式:

(1)log5125=3; (2)lo

g

1

3

3=-2; (3)lga=1.669; (4)lna=5;

【答案】(1)53=125; (2)(

1

3

)-2=3 (3) 10-1.669=a (4)e5=a;.

3.题后小结：（对数式与指数式的互化技巧）

(1)
(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:

(2)根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.

(3)通过以上指数式和对数式的互换，你能发现什么规律？

（4）怎么证明上述恒等式?

教师引导学生证明：设
，则根据对数的定义，有
，即

题型三 利用指数式求对数式的值

例3.求下列各式的值:

【答案】

解：(1)由26=64，得：log264=6.

(2)x=log927,则根据对数的定义知:9x=27,即32x=33, ∴2x=3，即x=

3

2

，∴log927=

3

2

.

(3)lg

1

100

=-2.

解题技巧：（利用对数式与指数式的关系求值）

指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.

跟踪训练三

1、求下列各式中x的值:

(1)ln(lg x)=1;(2)log2(log5x)=0;(3)

3

2+

log

3

5

=x.

【答案】（1）
（2）x=5 （3）x=45

【解析】(1)∵ln(lg x)=1,∴lg x=e,∴
；

(2)∵log2(log5x)=0,∴
,∴x=5.

(3)x=32×

3

log

3

5

=9×5=45.

（5）课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

（六）板书设计

alogaN＝N；

（七）作业

课本126页习题4.3中 1题2题

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