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4.5.1 对数函数的概念

一、教学目标

1. 函数零点的概念.（理解）

2. f(x) / 0 有解与y / f(x) 有零点的关系.（理解）

3. 函数零点的判断.（理解）

二、教学重难点

在熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数等） 的图像与性质的基 础上，提炼方程f(x) / 0 的解与函数y / f(x) 的图像与x 轴交点的关系，进而理解并 准确把握函数零点的概念，以及函数零点、方程的实数解、函数图像与x 轴交点 三者之间的关系，并能从“形”（函数图像） 与“数”（函数零点存在定理） 两个

角度分析解决函数零点有关问题.

三、教学过程 1.函数零点概念的形成

1.1 温故知新，引发思考

【复习引入】 函数，方程这几个概念同学们并不陌生，请问大家会解什么样的方程呢？ 【预设答案】 一元一次方程，一元二次方程。

问题： 同学们思考一下多次方程会解吗？ 我们能不能处理呢？

教师讲解： 我国古代数学家比较系统解决了部分方程求解问题。约公元 50 ～ 100 年

编成的《九章算术》， 就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法。这比西方早了三百多年。

/

11 世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。13 世纪，南宋数学家

秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法,是具有世界先驱意义的首创。

/

【设计意图】 将数学文化巧妙引入，使得学生在掌握数学知识的同时，对方程求解的数

学文化数学史有一定的了解，增强学生民族自豪感。

问题：（ 1）这几个特殊二次方程的求解问题能否处理，请学生画出对应的 函数图象，观察方程解与函数图象的关系。

（2）你能否得到一个初步结论呢？ 由此，能否推广到一般二次方程与二

次函数的关系呢？

【 预 设 答 案 】 一 元 二 次 方 程 ax2 / bx / c / 0（a / 0）的 实 数 根 就 是 函 数 y / ax2 / bx / c（a / 0）图象与x 轴交点的横坐标.

当a / 0 时，一元二次方程ax2 / bx / c / 0 的实数根、二次函数y / ax2 / bx / c 的函数图

象之间的关系如下表所示：

/ / b2 / 4ac

/ / 0

/ / 0

/ / 0



ax2 / bx / c / 0 的实数根

/ b / /

, 2a

（其中x1 / x2 ）



x1 / x2 / / 2a



方程无实数根



y / ax2 / bx / c 的图像

/

/

/





y / ax2 / bx / c

的零点

/ b / /

, 2a



x1 / x2 / / 2a

函数无零点



类似可得当a / 0 的情形.

【设计意图】 由已知入手，通过学生熟悉的一元二次函数一元二次方程切入，由已知探索

未知，从而得到一般结论。

1.2 逐步探究，形成概念

教师讲授：

1. 函数零点的概念

对于一般函数y / f(x) ，我们把使f(x) / 0 的实数x 叫做函数y / f(x) 的零点. 即哈数 的零点就是使函数值为零的自变量的值.

2. 函数的零点与方程的解的关系

函数y / f(x) 的零点就是方程f(x) / 0 的实数解，也就是函数y / f(x) 的图像与x 轴 的公共点的横坐标. 所以方程 f(x) / 0 有实数解/ 函 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 设计意图】 一题多解，拓宽思路，增强学生思维宽度与广度，同时加强学生对函数零点的概

念的掌握和运用。

3.思想方法，总结归纳

一个关系： 函数零点与方程解的关系.

一个定理： 零点存在定理.

三种思想：

特殊到一般思想； 函数方程思想； 数形结合思想.

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三种题型：

求函数的零点； 判断零点个数； 求零点所在区间.

总结： 古代哲学家老子说过：

道生一，一生二，二生三，三生万物。

老子的这句话，阐述的正是我们这节课所应用的解决问题方法： 从特殊到一般。 同学们可以尝试用这样的方法来探索未知的领域。

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