【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附
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三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1）O是的重心;
若O是的重心，则故;
为的重心.
2）O是的垂心;
若O是(非直角三角形)的垂心，则
故
3）O是的外心(或)
若O是的外心
则
故
4）O是内心的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成：
O是内心的充要条件也可以是
若O是的内心，则
故 ;
的内心;
向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
范例
(一)．将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.
由,
同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由.
即
则
所以P为的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
变式：若H为△ABC所在平面内一点，且
则点H是△ABC的垂心
证明:
0
即0
同理，
故H是△ABC的垂心
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.
证明 作图如右，图中
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将代入=0，
得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））
例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.
证明
∵G是△ABC的重心
∴=0=0，即
由此可得.（反之亦然（证略））
例6若 为内一点， ，则 是 的（???? ）
A．内心?????????? B．外心??????? C．垂心????????? D．重心
解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
变式：已知分别为的边的中点．则．
证明：
．．
变式引申：如图4，平行四边形 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 BC，
∴AB=AC，又=，∠A=，所以△ABC为等边三角形.
9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= 1
10.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的(B)
(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点 (D)三条高的交点
11.如图1，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。
证 点G是△ABC的重心，知，得
，有。
又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，
于是存在λ，μ，使得，
有=，得，于是得。
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