数学建模竞赛题目：血管机器人的订购与生物学习
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2022年第十九届五一数学建模竞赛题目
A题 血管机器人的订购与生物学习
随着微机电系统的发展，人类已经可以加工越来越小的机器。这些机器小到一定程度就可以放进血管开展疾病治疗，这就是血管机器人。血管机器人可以携带药物放入血管里定点治疗与血管有关的疾病，还可以充当血管清道夫，清除病毒，保持人体健康。因而，血管机器人越来越受到人们的关注。
血管机器人有多种类型，其中某医院使用的是ABLVR型号的血管机器人。这种血管机器人有两大特点：①可以组装。机器人有一个容器艇（类似于潜艇），有动力，可在血液中游动。容器艇四周安装了4个操作手，操作手类似于人，有生物大脑和机械臂，生物大脑控制着机械臂进行工作。操作手可以从容器艇上拆卸、安装、更换。②需要学习。这种血管机器人没有直接的信息复制功能，新购买的操作手在工作之前需要提前进行生物学习（训练），类似于人脑学习，需要在特定的环境中由已经学习好的操作手（熟练工）“指导”若干个生物大脑芯片空白的操作手（新手）在仿真血管中进行学习，直到“新手”能够达到“熟练工”的水平为止，时间为一周。
血管机器人在患者血管中工作时间是一周，一周后必须取出。取出后操作手拆卸下来需要进行一周的保养才能再次开展工作，如没有安排工作，则一直需要保养。新购买的容器艇需要经过一周的检查调试后才可以投入使用，使用结束后容器艇并不必须要保养，可以连续使用，但如果不使用也需要保养。假定购买的容器艇和操作手在每周开始时到货并立即安排检查调试和生物学习（训练）。相关成本数据见附件1。附件2是第1-104周该医院所需要的血管机器人数量。
该医院从第1周开始开展血管机器人治疗业务，并假定开始前已经有了13个容器艇和50个熟练操作手。请建立数学模型，回答下列问题。
问题1：在每周开始时，医院可以购买到操作手和容器艇。每个熟练操作手可以作为指导者“指导”10个购买的新操作手进行生物学习。如果仅仅考虑第1-8周，请问每周需要购买多少容器艇和操作手，既满足治疗又能够使运营成本达到最低？
问题2：血管机器人在患者血管中工作有风险，一旦碰上巨噬细胞，如果躲避不及，将会完全损毁。假设每周有20%的血管机器人损毁（损毁的个数按四舍五入取整），其他条件遵循问题1，通盘考虑第1-104周，请问总共需要购买多少容器艇和操作手，既满足治疗又能够使运营成本达到最低？并将相关结果填入表1。另外，将第1-8周的结果数据与问题1的第1-8周的结果数据进行对比分析。
表1：问题2相关结果数据
周某某
购买的容器艇数量
购买的操作手数量
保养的操作手数量
保养的容器艇数量
参与训练的操作手数量（含“熟练工”和“新手”）
总成本
（单位：元）
第12周
第26周
第52周
第78周
第101周
第102周
第103周
第104周
1-104周（总计）
问题3：如果每名熟练操作手可以“指导”新操作手的数量调整为不超过20个，假设每周有10%的血管机器人损毁（损毁的个数按四舍五入取整），同问题2，请研究第1-104周里总共需要购买多少容器艇和操作手既满足治疗又能够使运营成本达到最低？将相关结果数据填入表2。
表2：问题3的相关结果数据
周某某
购买的容器艇数量
购买的操作手数量
保养的操作手数量
保养的容器艇数量
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21
23
36
50
45
45
49
第57-64周
57
43
40
44
52
43
42
45
第65-72周
52
41
39
41
48
35
34
35
第73-80周
42
34
36
43
55
48
54
65
第81-88周
80
70
74
85
101
89
88
90
第89-96周
100
87
88
89
104
89
89
90
第97-104周
106
96
94
99
109
99
96
102
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