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北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结

勾股定理

1、勾股定理

（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）

（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形

例题：在Rt△ACB中，∠A=90°，AC=6，AB=8，求BC的长。

解：在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=62+82=100

∴ BC=10

利用勾股定理求直角三角形边某某的方法：

一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”：

一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；

二代：代入a2＋b2＝c2；三化简．

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边某某a，b，c有关系
，那么这个三角形是直角三角形。

例题：在?ACB中， AC=6，AB=8，BC=10，?ACB是什么三角形？

解：在△ABC中， AC2+AB2=62+82=100=BC2

∴?ACB是直角三角形，∠A=90°

利用边的关系判定直角三角形的步骤：

(1)比较三边某某a，b，c的大小，找出最长边．

(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形．

3、勾股数：满足
的三个正整数a，b，c，称为勾股数。

常见的勾股数有：（3,4,5） （5,12,13） （6,8,10） （7,24,25） （8,15,17） （9,12,15）（9,40,41）（12,16,20）……

规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……

（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1

如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……

4、求几何体两点间的最短路线长的方法：

先将几何体的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可．

但要注意：长方体的表面展成平面图形，展开时一般要考虑各种可能的情况．在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求其长度，长度最短的路线为最短路线．

5、常见题型应用：

（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……

（2）已知任意一条的边某某以及另外两条边某某之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……

（3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~

判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状

（4）构建直角三角形解题

例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。

解：设两直角边为3x，4x，由题意知：

∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。

中考突破

（1）中考典题

例. 如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

思维入门指导：梯 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ≠0）的形式．

而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，

即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

利用一次函数图象解一元一次方程的步骤：

(1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；

(2)画图象：画出一次函数的图象；

(3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，得到其横坐标，即为一元一次方程的解．

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