离心率培优题-教师用卷
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离心率培优题
副标题
题号
一
二
总分
得分
一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）
已知双曲线
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0,??>0)的右焦点为F，过F作直线??=?
??
??
??的垂线，垂足为M，且交双曲线的左某某N点，若
????
=2
????
，则双曲线的离心率为(????)
A. 3 B.
5
C. 2 D.
3
【答案】B
【解析】解：如右图所示，设双曲线的半焦距为c，左焦点为
??
1
，连接??
??
1
， ∵
????
=2
????
，∴点M为线段NF的中点，∴????//
??
1
??，且|????|=
1
2
|
??
1
??|， 又过??(??,0)作直线??=?
??
??
??的垂线，垂足为M，∴????⊥????， ????⊥??
??
1
，又由点线距离公式可得：|????|=
????
??
2
+
??
2
=??， 又|????|=??，∴|????|=
??
2
?
??
2
=??，|??
??
1
|=2??.又点N在双曲线的左某某， 由双曲线的定义得：|????|=|??
??
1
|+2??=4??． 在直角三角形????
??
1
中：|??
??
1
|
2
=4
??
2
=|????
|
2
+|??
??
1
|
2
=4
??
2
+16
??
2
=20
??
2
故双曲线的离心率??=
??
??
=
5
． 故选：B． 由题设条件得到OM与??
??
1
及??
??
1
与NF的位置关系与长度关系，再根据双曲线的定义得到|??
??
1
|=2??， |????|=4??，进而由|??
??
1
|
2
=4
??
2
=|????
|
2
+|??
??
1
|
2
=4
??
2
+16
??
2
=20
??
2
，求得离心率e． 本题主要考查双曲线的定义与性质，属于中档题．
已知双曲线
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0,??>0)的左、右焦点分别为
??
1
，
??
2
，设过
??
2
的直线与C的右支相交于A，B两点，且|??
??
1
|=|
??
1
??
2
|，|??
??
2
|=2|??
??
2
|，则双曲线C的离心率是(????)
A.
2
B.
3
C.
4
3
D.
5
3
【答案】D
【解析】解：根据题意，作出如下所示的图形， / 设|??
??
1
|=|
??
1
??
2
|=2??，由双曲线的定义知，|??
??
1
|?|??
??
2
|=2??， ∴|??
??
2
|=2(?????)，|??
??
2
|=2|??
??
2
|=4(?????)， ∴|????|=6(?????)， ∵|??
??
1
|?|??
??
2
|=2??， ∴|??
??
1
|=2(2?????)， 在△??
??
1
??
2
和△??
??
1
??中，由余弦定理知，cos∠
??
1
??
??
2
=
|??
??
1
|
2
+|??
??
2
|
2
?|
??
1
??
2
|
2
2?|??
??
1
|?|??
??
2
|
=
|??
??
1
|
2
+|????
|
2
?|??
??
1
|
2
2?|??
??
1
|?|????|
， ∴
4
??
2
+4(?????
)
2
?4
??
2
2?2???2(?????)
=
4
??
2
+36(?????
)
2
?4(2?????
)
2
2?2???6(?????)
， 化简得3
??
2
?8????+5
??
2
=0，解得
??
??
=
5
3
或1(∵??>??,∴舍1)， ∴离心率??=
??
??
=
5
3
． 故选：D． 设|??
??
1
|=|
??
1
??
2
|=2??，由双曲线的定义知，|??
??
1
|?|??
??
2
|=2??，则|??
??
2
|=2(?????)，|??
??
2
|=4(?????)，|????|=6(?????)，又|??
??
1
|?|??
??
2
|=2??，所以|??
??
1
|=2(2?????)， 在△??
??
1
??
2
和△??
??
1
??中，由余弦定理知，cos∠
??
1
??
??
2
=
|??
??
1
|
2
+|??
??
2
|
2
?|
??
1
??
2
|
2
2?|??
??
1
|?|??
??
2
|
=
|??
??
1
|
2
+|????
|
2
?|??
??
1
|
2
2?|??
??
1
|?|????|
，代入所得的数据，化简得3
??
2
?8????+5
??
2
=0，解得
??
??
=
5
3
或1(舍1)，而离心率??=
??
??
，故而得解． 本题考查双曲线的定义和性质，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题．
已知双曲线C：
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0,??>0)的左、右焦点分别为
??
1
，
??
2
，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左某某点M，过点O作??
??
2
的平行线分别交??
??
1
，??
??
2
于G，H两点，若|????|=|??
??
2
|，且∠??
??
2
??=120°，则双曲线C的离心率为(??? )
A.
2
B.
3
C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】 本题主要考查的是余弦定理，双曲线的性质，直线与双曲线的关系等有关知识，根据题意得到OG是△??
??
1
??
2
的中位线，进而得到|??
??
1
|=2|????|，再根据|????|=|??
??
2
|，得到|??
??
1
|=2|??
??
2
|.利用双曲线的性质得到|??
??
1
|=4??，|??
??
2
|=2??.根据∠??
??
2
??=120°，得到∠
??
1
??
??
2
=60°.再利用余弦定理求解即可． 【解答】 解：由题意得，OG是△??
??
1
??
2
的中位线， ∴|??
??
1
|=2|????|， 又|????|=|??
??
2
|， ∴|??
??
1
|=2|??
??
2
|. ∵|??
??
1
|?|??
??
2
|=2??， ∴|??
??
1
|=4??，|??
??
2
|=2??． ∵∠??
??
2
??=120°， ∴∠
??
1
??
??
2
=60°． 在△??
??
1
??
2
中，由余弦定理得 4
??
2
=16
??
2
+4
??
2
?2·4??·2??·??????60°， ∴??=
3
??，即
??
??
=
3
， ∴双曲线C的离心率为
3
． 故选B．
已知双曲线E：
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0,??>0)的左、右焦点分别为
??
1
，
??
2
，过
??
1
的直线与E交于A，B两点(??在x轴的上方)，且满足
??
??
1
=
1
7
??
1
??
.若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为(????)
A. 2 B.
7
2
C.
5
2
D.
3
2
【答案】D
【解析】解：设|??
??
1
|=??，|??
??
1
|=7??，根据双曲线定义 |??
??
2
|=??+2??，|??
??
2
|=7??+2??， 在△??
??
1
??
2
中，由余弦定理可得：(??+2??
)
2
=(2??
)
2
+
??
2
?2?2???????????60°． 在△??
??
1
??
2
中，由余弦定理可得：(??+7??
)
2
=(7??
)
2
+(2??
)
2
?2?2???7????????120°， ①?②可得7=
2??+??
2?????
=
2+??
2???
，解得??=
3
2
． 故选：D． 设|??
??
1
|=??，|??
??
1
|=7??，根据双曲线定义|??
??
2
|=??+2??，|??
??
2
|=7??+2??，得：(??+2??
)
2
=(2??
)
2
+
??
2
?2?2???????????60°.(??+7??
)
2
=(7??
)
2
+(2??
)
2
?2?2???7????????120°， ①?②可得e． 本题考查了双曲线的性质、离心率，考查了运算能力，属于中档题．
已知点
??
1
，
??
2
分别是椭圆
??
1
和双曲线
??
2
的公共焦点，
??
1
，
??
2
分别是
??
1
和
??
2
的离心率，点P为
??
1
和
??
2
的一个公共点，且∠
??
1
??
??
2
=
??
3
，若
??
2
∈(2,
7
)，则
??
1
的取值范围是(????)
A. (
5
5
,
7
3
) B. (
13
13
,
7
5
) C. (
7
5
,
2
13
13
) D. (
7
3
,
2
5
5
)
【答案】C
【解析】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，长半轴长为
??
1
，实半轴长为
??
2
， 即有
??
1
=
??
??
1
，
??
2
=
??
??
2
， 设P为第一象限的点，|??
??
1
|=??，|??
??
2
|=??， 由椭圆和双曲线的定义可得??+??=2
??
1
，?????=2
??
2
， 解得??=
??
1
+
??
2
，??=
??
1
?
??
2
， 由∠
??
1
??
??
2
=
??
3
，可得4
??
2
=
??
2
+
??
2
?2??????????
??
3
， 即为4
??
2
=
??
1
2
+3
??
2
2
， 即有
1
??
1
2
+
3
??
2
2
=4， 可得
1
??
1
2
=4?
3
??
2
2
， 由
??
2
∈(2,
7
)，可得4?
3
??
2
2
∈(
13
4
,
25
7
)， 则
??
1
∈(
7
5
,
2
13
13
). 故选：C． 设椭圆和双曲线的半焦距为c，长半轴长为
??
1
，实半轴长为
??
2
，运用离心率公式和椭圆、双曲线的定义，结合三角形的余弦定理，以及不等式的性质，即可得到所求范围． 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查三角形的余弦定理和不等式的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
设
??
1
是双曲线C：
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0,??>0)的左焦点，O是坐标原点，若P是双曲线C的渐近线与圆
??
2
+
??
2
=
??
2
的一个交点，且|??
??
1
|=3|????|>??，则C的离心率为(????)
A.
10
B.
6
C.
3
D.
2
【答案】B
【解析】解：设
??
1
是双曲线C：
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0,??>0)的左焦点，O是坐标原点，若P是双曲线C的渐近线与圆
??
2
+
??
2
=
??
2
的一个交点，且|??
??
1
|=3|????|>??， 可得9
??
2
=
??
2
+
??
2
+2????????????，其中????????=
??
??
，所以????????=
??
??
， 所以6
??
2
=
??
2
， 所以??=
6
． 故选：B． 利用已知条件，结合余弦定理以及渐近线的斜率，列出方程求解即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查召唤师想以及数形结合思想的应用，是中档题．
设双曲线的左准线与两条渐近线交于??,??两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围是(?? )
A. (1,2) B. (1,4) C. (
2
,4) D. (1,
2
)
【答案】D
【解析】
【分析】 求出渐近线方程及准线方程，求得交点A，B的坐标，再利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出不等式，即可求出离心率的范围． 本题考查双曲线的准线、渐近线方程，考查点圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 【解答】 解：设双曲线的方程为
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0,??>0)，则渐近线方程为??=±
??
??
??，左准线方程为??=?
??
2
??
∵双曲线的左准线与它的两条渐近线交于A，B两点，∴??(?
??
2
??
,
????
??
)，??(?
??
2
??
,?
????
??
) ∵左焦点为在以AB为直径的圆内， ∴?
??
2
??
+??<
????
??
， ∴??0
，点P的坐标为
?1,2
.斜率为?
1
8
的直线与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，直线AP交双曲线于另一点C，直线BP交双曲线于另一点??.当直线CD的斜率为?
1
8
时，此双曲线的离心率为
A.
6
2
B.
3
2
C.
5
2
D.
5
2
【答案】C
【解析】
【分析】 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 设??(
??
1
,
??
1
)，??(
??
2
,
??
2
)，线段AB的中点??(
??
??
,
??
??
)，设??(
??
3
,
??
3
)，??(
??
4
,
??
4
)，线段CD的中点??(
??
??
,
??
??
)，利用点差法求出点M与点N的纵坐标，利用三点共线求出离心率． 【解答】 解：设??(
??
1
,
??
1
)，??(
??
2
,
??
2
)， 线段AB的中点??(
??
??
,
??
??
)，则
??
1
2
??
2
?
??
1
2
??
2
=1
??
2
2
??
2
?
??
2
2
??
2
=1
两式相减得：
??
1
?
??
2
??
1
?
??
2
=
??
2
??
2
×
??
1
+
??
2
??
1
+
??
2
=?
1
8
=
??
2
??
2
×
??
??
??
??
， 解得：
??
??
=?
8
??
2
??
2
·
??
??
① 设??(
??
3
,
??
3
)，??(
??
4
,
??
4
)，线段CD的中点??(
??
??
,
??
??
)， 同理可得
??
??
=?
8
??
2
??
2
·
??
??
② 易知P，M，N三点共线， ∴
??
??
?2
??
??
+1
=
??
??
?2
??
??
+1
， ①②代入得
?
8
??
2
??
2
·
??
??
?2
??
??
+1
=
?
8
??
2
??
2
·
??
??
?2
??
??
+1
， 即
??
??
?
??
??
·
1?
4
??
2
??
2
=0， ∴
??
2
=4
??
2
， ∴??=
5
2
． 故选C．
已知
??
1
，
??
2
分别为双曲线
??
2
??
2
?
??
2
??
2
?1(??>0,??>0)的下焦点和上焦点，过
??
2
的直线交双曲线下支某某A，交双曲线上支某某B，若|????|：|??
??
2
|：|??
??
2
|=2：3：4，则双曲线的离心率为(????)
A. 2 B. 3 C.
7
D. 4
【答案】D
【解析】解：设|????|=2??，则|??
??
2
|=3??，|??
??
2
|=4??，cos∠????
??
2
=
(2??
)
2
+(3??
)
2
?(4??
)
2
2?2???3??
=?
1
4
， 又由双曲线定义可得：|??
??
1
|=4???2??，|??
??
1
|=3??+2??，∴3??+2??=4???2??+2?????=
4
3
??， 故△??
??
1
??
2
中，|??
??
1
|=6??，|??
??
2
|=4??，|
??
1
??
2
|=2??，∴(2??
)
2
=(6??
)
2
+(4??
)
2
?2?6???4???(?
1
4
)=64
??
2
，∴
??
2
=16
??
2
，∴??=4， 故选：D． 画出图形，设出|????|，通过余弦定理以及双曲线的定义，转化求解即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．
已知椭圆??:
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(??>??>0)的左、右焦点分别为
??
1
，
??
2
，O为坐标原点，离心率为
1
2
，点P为第一象限内椭圆上一点，三角形??
??
1
??
2
的面积为
3
2
，其内切圆的半径为
3
6
，则E的方程为(????)
A.
??
2
4
+
??
2
=1 B.
??
2
3
+
??
2
=1 C.
??
2
3
+
??
2
4
=1 D.
??
2
4
+
??
2
3
=1
【答案】D
【解析】
【分析】 本题主要考查椭圆的定义及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题． 利用椭圆的定义及等面积法，得到
??
△??
??
1
??
2
=
1
2
(|??
??
1
|+|??
??
2
|+|
??
1
??
2
|)???=
1
2
(2??+2??)???=
3
6
(??+??)=
3
2
，再结合??=
??
??
=
1
2
求解． 【解答】 解：因为
??
△??
??
1
??
2
=
1
2
(|??
??
1
|+|??
??
2
|+|
??
1
??
2
|)???=
1
2
(2??+2??)???=
3
6
(??+??)， 又因为??=
??
??
=
1
2
， 所以??=2??， 所以
3
2
??=
3
2
， 解得??=1， 所以??=2，??=
3
， 所以E的方程为
??
2
4
+
??
2
3
=1． 故选D．
已知双曲线??:
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1
??>0,??>0
的左，右焦点分别为
??
1
,
??
2
，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，??
??
2
分别交双曲线C的左，右支于另一点??,??,若
??
??
1
=3
??
??
2
，且∠??
??
2 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。
2
|?|??
??
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2
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2
，② 联立①②解得：??=?
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2
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，
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2
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2
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4
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2
， 又圆心的纵坐标为
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2
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4
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2
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2
?
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4
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2
，解得??=
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=2． 故答案为：2． 由题意画出图形，设内切圆的圆心为??(??,??)，圆M分别切分别切??
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2
，??
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2
，AB于S，T，Q，可得四边形??
??
2
????为正方形，再由圆的切线的性质结合双曲线的定义求得△??
??
2
??的内切圆的圆心的纵坐标，结合已知列式求得双曲线的离心率． 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
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