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§1.7 两向量的数量积（内积）

一 、数量积的定义

定义1.7.1 对于两个向量
和
(把它们的模
,
及它们夹角( 的余弦的乘积称为向量/和/的数量积(?记作

即

=

cos( .

由此定义和射影的关系可得:

(
Prjb
=
Prja
.或Prjb
=

二、 数量积的性质(?

(1)?
·
(
2,记
·
(
2，则
2(
2或
，（模长计算）

(2)
（夹角计算）

(3)对于两个非零向量

如果

(0，则

??

反之(如果

则

.

定理1.7.1 如果认为零向量与任何向量都垂直(?则

(

.

定理1.7.2 数量积满足下面运算律：

(1)交换律(

.

(2)分配律(??(

)
(

(

.

(3)

?=
((
)，关于数因子可结合。

推论：(

)(
(

(

）.

证明: (1)由定义知显然.

(2)的证明( 因为当
(
时( 上式显然成立(

当

时( 有

(

)
(|
|Prjc(
(
)

(|
|(Prjc
(Prjc
)

(|
|Prjc
(|
|Prjc
(
(
(
(
.

(3)可类似地证明.

注:可按多项式的乘法展开计算，得平方差公式,完全平方公式，平行四边形对角线的平方和性质等。

例1 试用向量法证明三角形的余弦定理（线面垂直定理，三高线共点 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 =
，

所以 |
|=
.

推论：设向量/的始终点坐标分别为/、/，

则/，

这就是两点间距离公式。

定理1.7.5（夹角计算公式） 设(((
^
)( 则当
(
、
(
(有

/.

证： 因为
(|
||
|cos( ，

所以 /.

四、向量的方向角和方向余弦

定义：向量与坐标轴正方向所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.

定理1.7.6 设
={ax( ay( az }，则
的方向余弦为

cos/=
,

cos/
,

cos/
；

且 /，

其中/分别是向量
与x轴，y轴，z轴正方向的夹角.

证明： 因为
=|
|cos/,
= ax，

所以 |
|cos/= ax，

从而 cos/=
.

同理可证 cos/

cos/

于是

，以三个方向余弦为坐标构成同方向的单位向量.

将
={ax( ay( az }进行单位化就得三个方向余弦.

例2 已知三点M (1(1(1)、A (2(2(1)和B (2(1(2)(求MA及(AMB (

解： 从M到A的向量记为
( 从M到B的向量记为
( 则(AMB 就是向量
与
的夹角.
({1(1(0}(?
({1(0(1}(

因为
(1(1(1(0(0(1(1，

MA=/( /(

所以 /(从而 /.

例3 证明柯西施瓦兹不等式（略）.

作业：T4(2)、(4)；T6

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