圆锥曲线离心率的求法（教师版）
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离心率的专题复习
椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．
一、直接求出、，求解
已知圆锥曲线的标准方程或、易某某，可利用率心率公式来解决。
例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D
变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
解：由、知 ，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C.
变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D
解：由题设，，则，，因此选C
变式练习3：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A B C D
解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，，则，故选A
二、构造、的齐某某，解出
根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。
例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式，
即，得，解得
（舍去），故选D
变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，
又, ∴,两边平方，得，整理得，
得或，又 ，∴，∴，∴，故选A
变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D
解：如图所示，不妨设，，，则
，又，
在中， 由余弦定理，得,
即，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，故选B
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：
变式练习1．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 .
变式练习2．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .
变式练习3．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为？
已知椭圆的短轴的上下端点分别为，左右焦点分别为，长轴右端点为，若，则椭圆的离心率为?（向量坐标加减）
若以椭圆的右焦点为圆心，为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距）
已知点，为椭圆的左准线与轴的交点，若线段的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率为？
若斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为？（通径）
已知两点分别是椭圆的左顶点和上顶点，而是椭圆的右焦点，若，则椭圆的离心率为？（两直线垂直，有）
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