空间向量与立体几何作业（教师版）
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作业一 空间向量与立体几何
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021秋?南山区校级月考）已知
??
→
，
??
→
，
??
→
是空间直角坐标系O㧟xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且
????
→
=3
??
→
，
????
→
=?
??
→
+
??
→
?
??
→
，则点B的坐标为（ ）
A．（1，㧟1，1） B．（㧟1，1，1） C．（1，㧟1，2） D．（㧟1，1，2）
【分析】设点B（x，y，z），由
????
→
=
????
→
?
????
→
，列式求解即可．
【解答】解：由题意可知，
????
→
=(0，0，3)，
????
→
=(?1，1，?1)，
所以
????
→
=
????
→
?
????
→
，设B（x，y，z），则（㧟1，1，㧟1）＝（x，y，z㧟3），
解得x＝㧟1，y＝1，z＝2，故B（㧟1，1，2）．故选：D．
2．（2021秋?南山区校级月考）已知直线l的一个方向向量
??
→
=(2，?1，3)，且直线l过A（0，a，3）和B（㧟1，2，b）两点，则a+b＝（ ）
A．0 B．1 C．
3
2
D．3
【分析】先求出
????
→
=（㧟1，2㧟a，b㧟3），由直线方向向量的定义列出方程，能求出a，b，由此能求出a+b的值．
【解答】解：∵直线l的一个方向向量
??
→
=(2，?1，3)，且直线l过A（0，a，3）和B（㧟1，2，b）两点，
????
→
=（㧟1，2㧟a，b㧟3），∴
?1
2
=
2???
?1
=
???3
3
，
解得a=
3
2
，b=
3
2
，∴a+b=
3
2
+
3
2
=3．故选：D．
3．（2021春?*_**）正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为（ ）
A．
2
B．
3
C．4?
3
D．4+
3
【分析】由AB＝BD＝AC＝CD＝AD＝2，F是AD中点，得BF＝CF=
2
2
?
1
2
=
3
，进一步求出EF=
3?1
=
2
．
【解答】解：如图，正四面体ABCD棱长为2，E、F分别为BC、AD中点，
连结EF、BE、CF，∵AB＝BD＝AC＝CD＝AD＝2，F是AD中点，
∴BF⊥AD，CF⊥AD，∴BF＝CF=
2
2
?
1
2
=
3
∵BE＝1，∴EF⊥BC，∴EF=
3?1
=
2
故选：A．
4．（2021?青冈县校级开学）在棱长为1的正方体ABCD㧟A1B1C1D1中，设
????
→
=
??
→
，
????
→
=
??
→
，
??
??
1
→
=
??
→
，则
??
→
?(
??
→
+
??
→
)的值为（ ）
A．1 B．0 C．㧟1 D．㧟2
【分析】根据已知条件，结合正方体的性质，以及向量数量积的运算规律，即可求解．
【解答】解：由正方体的性质可得，
????
→
⊥
????
→
，
????
→
⊥
??
??
1
→
，
故
????
→
?
????
→
=0，
????
→
?
??
??
1
→
=0，∵
????
→
=
??
→
，
????
→
=
??
→
，
??
??
1
→
=
??
→
，
∴
??
→
?(
??
→
+
??
→
)=
????
→
?(
????
→
+
??
??
1
→
)=
????
→
?
????
→
+
????
→
?
??
??
1
→
=0．故选：B．
5．（2021?沈北新区校级开学）在空间四点O，A，B，C中，若{
????
→
，
????
→
，
????
→
}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
【分析】根据基底的含义，非零向量
????
→
，
????
→
，
????
→
不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面．
【解答】解：因为{
????
→
，
????
→
，
????
→
}为基底，所以非零向量
????
→
，
????
→
，
????
→
不在同一平面内，
即O，A，B，C四点不共面，所以A、C、D选项说法正确，B错误．故选：B．
6．（2021?三元区校级开学）设OABC是四面体，若D为BC的中点，
????
→
=??
????
→
+??
????
→
+??
????
→
，则（x，y，z）为（ ）
A．(
1
4
，
1
4
，
1
4
) B．(?1，
1
2
，
1
2
)
C．(?
1
3
，
1
3
，
1
3
) D．(
2
3
，
2
3
，
2
3
)
【分析】在△OBC中，
????
→
=
1
2
????
→
+
1
2
????
→
，在△OAD中，
????
→
=
????
→
?
????
→
，所以
????
→
=?
????
→
+
1
2
????
→
+
1
2
????
→
．
【解答】解：在△OBC中，因为D是BC中点，所以
????
→
=
1
2
????
→
+
1
2
????
→
，
在△OAD中，
????
→
=
????
→
?
????
→
，所以
????
→
=?
????
→
+
1
2
????
→
+
1
2
????
→
．故选：B．
7．（2021秋?蚌埠月考）正四面体P㧟ABC中，点M是棱BC上的动点（包含端点），记异面直线PM与AB所成角为α，直线PM与平面ABC所成角为β，则（ ）
A．α＞β B．α＜β C．α≥β D．α≤β
【分析】根据题意，作PO⊥底面ABC，连接OM，过点M作l平行于AB，过点P作PN⊥MN与MN交于点N，分析可得∠PMO＝β，∠PMN＝α，又由PN≥PO，分析可得PN≥PO，则sinα≥sinβ，由正弦三角函数的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：作PO⊥底面ABC，连接OM，
过点M作l平行于AB，过点P作PN⊥MN与MN交于点N，
则∠PMO是直线PM与平面ABC所成角，即∠PMO＝β，
∠PMN是直线PM与与AB所成角，即∠PMN＝α，在Rt△POM和Rt△PMN中，
有PN≥PO，则sinα≥sinβ，必有α≥β，故选：C．
/
8．（2020秋?鼓楼区校级期末）已知动点P在正方体ABCD㧟A1B1C1D1的对角线BD1（不含端点）上．设
??
1
??
??
1
??
=λ，若∠APC为钝角，则实数λ的取值范围为（ ）
/
A．（0，
1
3
） B．（0，
1
2
） C．（
1
3
，1） D．（
1
2
，1）
【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即
????
→
?
????
→
＜0，从而可求λ的取值范围．
【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D㧟xyz，
设正方体ABCD㧟A1B1C1D1的棱长为1，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
∴
??
1
??
→
=（1，1，㧟1），∴设
??
1
??
→
=（λ，λ，㧟λ），
∴
????
→
=
??
??
1
→
+
??
1
??
→
=（㧟λ，㧟λ，λ）+（1，0，㧟1）＝（1㧟λ，㧟λ，λ㧟1），
????
→
=
??
??
1
→
+
??
1
??
→
=（㧟λ，㧟λ，λ）+（0，1，㧟1）＝（㧟λ，1㧟λ，λ㧟1），
由图知∠APC不是平角，∴∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，
∴
????
→
?
????
→
＜0，
∴（1㧟λ）（㧟λ）+（㧟λ）（1㧟λ）+（λ㧟1）2＝（λ㧟1）（3λ㧟1）＜0，
解得
1
3
＜λ＜1∴λ的取值范围是（
1
3
，1）故选：C．
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021?望花区校级开学）已知直线l1、l2的方向向量分别是
????
→
=(2，4，??)，
????
→
=(2，??，2)，若|
????
→
|=6，且l1⊥l2，则x㧟y的值可以是（ ）
A．㧟3 B．7 C．1 D．㧟5
【分析】由|
????
→
|=6，且l1⊥l2，列出方程组，求出x，y的值，即可求解．
【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别是
????
→
=(2，4，??)，
????
→
=(2，??，2)，且|
????
→
|=6，且l1⊥l2，
∴
4+16+
??
2
=6
4+4??+2??=0
，解得
??
2
=16
??+2??+2=0
，
∴
??=4
??=?3
或
??=?4
??=1
，∴x㧟y＝7或x㧟y＝㧟5．故选：BD．
10．如图，在正方体ABCD㧟A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量
??
??
1
→
的是（ ）
A．（
??
1
??
1
→
?
??
1
??
→
）?
????
→
B．（
????
→
+
????
1
→
）?
??
1
??
1
→
C．（
????
→
?
????
→
）+
??
??
1
→
D．（
??
1
??
1
→
?
??
1
??
→
）?
??
??
1
→
【分析】利用向量的加减法法则分别求出各选项中的向量即可判断．
【解答】解：对于A选项：(
??
1
??
1
→
?
??
1
??
→
)?
????
→
=
??
??
1
→
?
????
→
=
??
??
1
→
，故A选项正确．
对于B选项：(
????
→
+
??
??
1
→
)?
??
1
??
1
→
=
??
??
1
→
+
??
1
??
1
→
=
??
??
1
→
，故B选项正确．
对于C选项：(
????
→
?
????
→
)+
??
??
1
→
=
????
→
+
??
??
1
→
=
??
??
1
→
，故C选项正确．
对于D选项：(
??
1
??
1
→
?
??
1
??
→
)?
??
??
1
→
=
??
1
??
1
→
?
??
1
??
→
+
??
1
??
→
=
????
→
，故D选项错误．故选：ABC．
11．已知
??
1
→
，
??
2
→
分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），
??
1
→
，
??
2
→
分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A．
??
1
→
∥
??
2
→
?l1∥l2 B．
??
1
→
⊥
??
2
→
?l1⊥l2
C．
??
1
→
∥
??
2
→
?α∥β D．
??
1
→
⊥
??
2
→
?α⊥β
【分析】根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，即可得到答案．
【解答】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件是它们的方向向量平行（或垂直），故选项A，B正确；
若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件是它们的法向量平行（或垂直），
故选项C，D正确．故选：ABCD．
12．（2020秋?历下区校级月考）已知空间三点A（㧟1，0，1），B（㧟1，2，2），C（㧟3，0，4），则下列说法正确的是（ ）
A．
????
→
?
????
→
=3 B．
????
→
∥
????
→
C．|
????
→
|=2
3
D．cos＜
????
→
，
????
→
＞=
3
65
【分析】分别求出
????
→
，
????
→
，
????
→
，依次判断即可．
【解答】解：∵A（㧟1，0，1），B（㧟1，2，2），C（㧟3，0，4），
∴
????
→
=（0，2，1），
????
→
=（㧟2，0，3），
????
→
=（㧟2，㧟2，2），
故
????
→
?
????
→
=3，|
????
→
|＝2
3
，cos＜
????
→
，
????
→
＞=
3
5
?
13
=
3
65
65
，故选：AC．
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021秋?南山区校级月考）已知
??
→
=(2，?1，3)，
??
→
=(?1，4，?2)，
??
→
=(3，2，??)，若
??
→
，
??
→
，
??
→
三向量共面，则实数λ等于 ．
【分析】由
??
→
，
??
→
，
??
→
三向量共面，得
??
→
=??
??
→
+??
??
→
，（x≠0，y≠0），列方程组，能求出结果．
【解答】解：∵
??
→
=(2，?1，3)，
??
→
=(?1，4，?2)，
??
→
=(3，2，??)，
??
→
，
??
→
，
??
→
三向量共面，
∴
??
→
=??
??
→
+??
??
→
，（x≠0，y≠0），
∴（2，㧟1，3）＝（㧟x，4x，㧟2x）+（3y，2y，λy）＝（㧟x+3y，4x+2y，㧟2x+λy），
∴
???+3??=2
4??+2??=?1
?2??+????=3
，解得x=?
1
2
，y=
1
2
，∴实数λ＝4．故答案为：4．
14．（2021春?瑶海区月考）已知平面α的一个法向量为
??
→
=（1，1，1），原点O（0，0，0）在平面α内，则点P（4，5，3）到α的距离为 ．
【分析】求出
????
→
=（4，5，3），点P（4，5，3）到α的距离为d=
|
????
→
?
??
→
|
|
??
→
|
，由此能求出结果．
【解答】解：∵平面α的一个法向量为
??
→
=（1，1，1），
原点O（0，0，0）在平面α内，点P（4，5，3），
????
→
=（4，5，3），
∴点P（4，5，3）到α的距离为：d=
|
????
→
?
??
→
|
|
??
→
|
=
12
3
=4
3
．故答案为：4
3
．
15．（2021春?瑶海区月考）正方体ABCD㧟A1B1C1D1的棱长为a，点M在A1C上，且AM=
1
2
MC1，N为BB1的中点，则MN的长为 ．
【分析】如图所示．建立空间直角坐标系，利用向量的坐标与模的计算公式即可得出．
【解答】解：如图所示，
N(??，??，
1
2
??)，C1（0，a，a），A（a，0，0）．∵AM=
1
2
MC1，∴
????
→
=
1
3
??
??
1
→
，
∴
????
→
=
????
→
+
1
3
??
??
1
→
＝（a，0，0）+
1
3
(???，??，??)=(
2
3
??，
1
3
??，
1
3
??)．
∴
????
→
=
????
→
?
????
→
=(
1
3
??，
2
3
??，
1
6
??)，
∴|
????
→
|=
1
9
??
2
+
4
9
??
2
+
1
36
??
2
=
21
6
??．故答案为：
21
6
??．
16．（2020春?和平区校级月考）如图，在正四棱柱ABCD㧟A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为
1
3
，则正四棱柱的高为 ．
【分析】建立空间直角坐标系，设棱柱的高为a，求出平面ACD1的一个法向量
??
→
，令??????＜
??
→
，
??
??
1
→
＞=
1
3
，求出a的值即可．
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设DD1＝a，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，a），故
????
→
=(?2，2，0)，
??
??
1
→
=(?2，0，??)，
??
??
1
→
=(0，0，??)，设平面ACD1的一个法向量为
??
→
=(??，??，??)，则
??
→
?
????
→
=?2??+2??=0
??
→
?
??
??
1
→
=?2??+????=0
，
可取
??
→
=(1，1，
2
??
)，故??????＜
??
→
，
??
??
1
→
＞=
??
→
?
??
??
1
→
|
??
→
||
??
??
1
→
|
=
2
???
4
??
2
+2
=
2
2
??
2
+4
，
又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为
1
3
，∴
2
2
??
2
+4
=
1
3
，解得a＝4．故答案为：4．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021春?江门期末）已知空间三点A（0，2，3），B（㧟2，1，6），C（1，㧟1，5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若向量
????
→
∥
????
→
，且|
????
→
|=
21
，求向量
????
→
的坐标．
【分析】（1）根据已知条件，运用向量的夹角公式，可得??=
??
3
，再结合三角形面积公式，即可求解．
（2））
????
→
//
????
→
，可得
????
→
=??
????
→
，λ∈R，结合向量模公式和向量平行的坐标表示，即可求解．
【解答】解：（1）设向量
????
→
，
????
→
的夹角为θ，
由已知
????
→
=(?2，?1，3)，
????
→
=(1，?3，2)，|
????
→
|=
(?2)
2
+
(?1)
2
+
3
2
=
14
，|
????
→
|=
(1)
2
+
(?3)
2
+
2
2
=
14
，????????=
????
→
?
????
→
|
????
→
|?|
????
→
|
=
(?2)×1+(?1)×(?3)+3×2
14
×
14
=
1
2
，
∵0≤θ≤π，∴??=
??
3
，∴
??
△??????
=
1
2
|
????
→
|?|
????
→
|?????????=
1
2
×
14
×
14
×
3
2
=
7
2
3
．
（2）∵
????
→
//
????
→
，∴
????
→
=??
????
→
，λ∈R，∵|
????
→
|=
21
，即|??||
????
→
|=
21
，即|??|=
6
2
，
∴
????
→
=±
6
2
?
????
→
=±
6
2
(?2，?1，3)，即
????
→
=(?
6
，?
6
2
，
3
6
2
)或
????
→
=(
6
，
6
2
，?
3
6
2
)．
18．（2021春?惠州期末）如图，四棱锥P㧟ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E为PC中点．
（1）求证：DE⊥平面PCB；
（2）求二面角E㧟BD㧟P的余弦值．
/ /
【分析】（1）只需证明BC⊥DE，DE⊥PC即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式得解．
【解答】解（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩C 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ????
→
=0
，
2??=0
???+0+??=0
，解得
??=1
??=0
??=1
，
设直线DE与平面BCF所成角的正弦值θ，
所以????????=|??????＜
??
→
，
????
→
＞|=|
1
2
+0?1
5
2
×
2
|=
10
10
，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值
10
10
；
（Ⅲ）由（Ⅱ）
????
→
=(1，2，0)，
????
→
=(0，1，
1
2
)，
????
→
=(
1
2
，0，1)，
设平面APC的法向量为
??
→
=(??，??，??)，则
??
→
?
????
→
=0
??
→
?
????
→
=0
，即
??+2??+0=0
0+??+
1
2
??=0
，令y＝㧟1，则z＝2，x＝2，
所以平面APC的法向量
??
→
=(2，?1，2)，
则点E到平面APC的距离??=
|
????
→
?
??
→
|
|
??
→
|
=
|
1
2
×2+0×(?1)+1×2|
2
2
+
1
2
+
2
2
=1，
所以E到平面APC的距离1．
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