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专题：中位线与中线



一.中点有关联想归类：

1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常某某“三线合一”的性质；

2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常某某“斜边上的中线，等于斜边的一半”；

3.三角形中遇到两边的中点，常某某“三角形的中位线定理”；

4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常某某“八字型”全等三角形）；

5.有中点时常构造垂直平分线；

6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；

7.倍长中线。

二.与中点问题有关的四大辅助线：

1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；

2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；

3.出现三角形边上的中点，作中位线；

4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一” 。

例题精讲

知识点一、出现三角形的中线，可以延长一倍中线的长度

1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

2.若点
是线段
的中点，则：

① 从线段来看：
；

② 从点与点的相对位置来看：点
在点
之间，且点
关于点
对称。

3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。

① 一个三角形有三条中线；

② 每条中线平分三角形的面积；

③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成
的两段；

④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。

例1. 已知在
中，
是
边上的中线，
是
上一点，且
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的延长线分别交
的延长线
、
。求证：
。

/

例2.已知：如图，
中，
，在
上取点
，在
延长线上取点
，连结
交
于点
，若
是
中点，求证：
。

/

知识点三、出现等腰三角形底边上的中点，造“三线合一”

基础回顾：

1.等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

2.等腰三角形的性质：

① 等腰三角形的两个底角相等；（“等边对等角”）

② 等腰三角形的顶角平分线，底角上的中线、底边上的高相互重合；（“三线合一”）

3.线段的垂直平分线：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

4.线段的垂直平分线相关的结论：

① 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

② 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如何造“三线合一”：

1.通常在以下两种情况下，会作“三线合一”辅助线：

① 等腰三角形中有底边中点；

② 证明底边中点。（证明角平分线和垂直也会用到）

2.作“三线合一”辅助线能得到：

① 整体上，“三线合一”
作底边的垂直平分线
出现对称模型；

② 细说，角方面：可以出现等角和直角；线段方面：可以得到相等的线段。

例1. 已知
中，
是
的平分线，
又是
边上的中线。求证：
。

例2.如下图，在矩形
中，
为
延长线上一点且
，
为
的中点。求证：
。





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