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姓 名 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）

解：特征方程为r2 ? 4r ? 4 ? 0

解得特征根： r1

? r2

? ?2



(4 分)

1、lim xy

x ?0 y ?0

? 4 .

方程通解 y ? (c1 x ? c2

)e?2 x



(c1



, c2



) 为任意常数 (6 分)

班级学号

x ? 1

y ?1

x ? 2

y ? 3

z ? 1

y? ? (?2c x ? c

2c

)e?2 x

又 y(0) ? 1, y?(0) ? 1，得c

? 1，c ? 3

2、直线 L： ?

? z 与 L ： ?



? 平行，则k ? ? 6 .




1 1 2 2 1

1 2 ? 3

2 4 k 2

所以方程满足 y(0) ? 1, y?(0) ? 1的特解为 y ? (3x ? 1)e?2 x

(8 分)

3、设 z ? x2 ? 3xy ? ey ，则dz ? (2x ? 3y)dx ? (3x ? ey )dy .

系部名称

4、曲线积分?L

ydx ? xdy ???0 ，其中 L 为 xoy 面上一条分段光滑的闭曲线.

2、设向量a ? ?1, 0, ? 2?， b ? ?3,1, 0?，计算a ? b 及a ? b ．

解： a ? b ? 1? 3 ? 0 ?1? (?2) ? 0 ? 3

? ?

（4 分）

5、若 lim un ? 0 ，则级数?un 的敛散性为 发散 .

i j k




? ? ?

专业名称

n??

n?1

a ? b ? 1 0

3 1

? 2 ? 2i ? 6 j ? k

0

（8 分）

二、选择题（每小题 2 分，共 8 分）

密

1、将 yoz 坐标面上的抛物线 z ? 2 y2 绕 z 轴旋转一周，生成的旋转曲面的方程为（ C ）.



3、设 f ( x , y ) ? x



2 y ? 2 y ? xexy

?f ?f

，求偏导数 ,

?x ?y



，及 f ( x , y ) 在点( 2,0) 处的梯度.

（A）

z2 ? 2(x2 ? y2 )



（B）

z2 ? 4(x2 ? y2 )

解： ?f ? 2xy ? exy ? xye xy

?x



（3 分）

?f ? x2 ? 2 ? x2exy

?y



（6 分）

封

（C）

z ? 2(x2 ? y2 )

（D）

z ? 2

gradf



( 2,0)

? ?1, 6 ?

（8 分）

2、已知(x ? y3 cos x)dx ? ( y ? ay2 sin x)dy 为某函数 f (x , y) 的全微分，则a ? （ D ）.

4、求曲面ez ? z ? xy ? 3 在点( 2 ,1, 0 ) 处的切平面及法线方程.

线

（A） ? 2

（B） 2 （C） ? 3



（D） 3



令 F ? ez ? z ? xy ? 3， （2 分）

3、已知 f ( x , y ) ? x3

y3

mxy 在(1,1) 点取得极小值，则m 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。

由高斯公式得 ?? 3xdydz ? ydzdx ? zdxdy ? ??? 3dv （3 分） ? 3??? dv ? 2?R3



（5 分）

1 2 x

解： ?? ( x2 ? xy)d? ? ? dx? (x2 ? xy)dy （3 分）

???1 ? ?

D

2 x

1 y

0 x

1 5x3 5

（其中? 是由? 与?1 围成的空间区域）

3 3 3

? ( x2 y ? x

0

) dx ? ?0

x

y2

dx ?

2

? （6 分）

0 8

?? 3xdydz ? ydzdx ? zdxdy ? 2?R

?

?? 3xdydz ? ydzdx ? zdxdy ? 2?R

?1

? 0 ? 2?R

（6 分）

4、计算曲线积分 ?L

dx ?2xydy ，其中 L 是上半圆周 x2 ? y2 ? a2 , y ? 0 ，沿逆时针方向从

2



五、应用题（共 15 分）

1、（8 分）已知矩形周某某 2，将它绕其一边旋转而形成一个旋转体，求矩形两边长各为多少

点 A(a , 0) 运动到点 B(?a ,0) ．

时，此旋转体的体积最大．

解某某：设 x ? a cos? ,

y ? a sin?

0 ? ? ? ?



（2 分）

解：设矩形两边长分别为 x, y ，体积为V ， 则V ? x2 y? 且 x ? y ? 1

(2 分)

? y 2



dx ? 2xydy

? ?? a2 sin2 ?



da cos? ? 2a2 cos? sin?da sin?



(4 分)

可设拉格朗日函数 F ? x2 y? ? ?(x ? y ? 1)

（4 分）

L 2 0 2

? a3 3 3 2





2a 3



? ? 2xy? ? ? ? 0

? 2

?0 (?

sin ? ? 2a

2

cos

? sin? )d? ?

3

(6 分)

Fy ? x ? ? ? ? 0

解某某：作辅助线 L1：y ? 0 ，从(?a,0) 点到(a,0) 点， （1 分）

x ? y ? 1

解得 x ? 2 ， y ? 1 ．

（6 分）

3 3

所以矩形两边 x ?

2 ， y ?

3

1 4?

时体积最大，且最大体积为

3 27



． （8 分）

2、（7 分）曲线形物件的方程为： x ? et cos t 、 y ? et sin t 、z ? et （ 0 ? t ? 2 ），其线密度

为 ? ( x , y , z ) ?

1

x2 ? y2 ? z2



，求此物件的质量．

解： ds ?

(et cos t ? et sin t)2 ? (et sin t ? et cos t)2 ? e2t dt ?

3et dt （3 分）

m ? ?? x2 ? y2 ? z2



（5 分）

? 1 3et dt ?



3 2 1 dt ? 3 (?e?t ) 2 ?



3 (1 ? 1 )





（7 分）

?0 2e2t

2 ?0 et 2

0 2 e2

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