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2.2 基本不等式（精讲）（基础版）

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考点一 直接型

【例1-1】（2022·江西）当
时，
的最小值为（???????）

A．3 B．
C．
D．

【答案】D

【解析】由
（当且仅当
时等号成立．）可得当
时，
的最小值为

故选：D

【例1-2】（2022·北京·高三学业考试）已知
，且
，则
的最小值为（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】因为
，所以
，当且仅当
时取“=”.故选：B.

【例1-3】（2022·广东）已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（???????）

A．4 B．8 C．
D．

【答案】C

【解析】因为正实数a，b，满足2a+b=1，所以
，

当且仅当
，即
时，等号成立，所以ab的最大值为
.故选：C

【一隅三反】

（2022·河南驻马店）

1. 已知a>0，则当
取得最小值时，a的值为（ ）

A.
B.
C.
D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式求最值即可.

【详解】∵a>0，

∴
，

当且仅当
，即
时，等号成立，

故选：C

（2021·江苏）

2. 若
，
，
，则
的最小值是（ ）

A. 4 B.
C. 9 D. 18

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为
，
，
，所以
，当且仅当
时取等号，

故选：D

（2021·河南南阳）

3. 下列函数中，最小值为2的是（ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合二次函数的性质、基本不等式等知识确定正确选项.

【详解】
，A不符合题意.

，当且仅当
，即
时，等号成立，显然
不可能成立，B不符合题意.

，当且仅当
，即
时，等号成立，C符合题意.

当
时，
，D不符合题意.

故选：C

考点二 常数替代型

【例2-1】（2022·甘肃武威·高二期末（理））已知
，
，则
的最小值为（???????）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】因为
，
，所以

（当且仅当
，即
时取等号），即
的最小值为4.故选：D.

【例2-2】（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知p，q为正实数且
，则
的最小值为（???????）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】由
可知
，

，当
，即
时，“
”成立，故选：A.

【一隅三反】

（2022·河南郑州）

4. 已知实数a>0，b>0，
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，
，

.

当且仅当
时等号成立.

故选：B

（2022·山西太原）

5. 已知
为正实数，
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】由条件可得
，然后利用基本不等式可得答案.

【详解】因为

所以

当且仅当
，即
时等号成立

故选：A

（2022·全国·高三专题练习）

6. 已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得，
，再根据基本不等式乘“
”法即可得最小值.

【详解】由题可知
，乘“
”得
，当且仅当
时，取等号，则
的最小值为
.

故选：A

（2022·**_* 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 转化为求
的最小值，利用“1”的变换
，展开后利用基本不等求最小值.

【详解】不等式
恒成立，即
，

，

等号成立的条件是
，即
，与条件
联立，解得
，

所以
的最小值是8，

即
，解得：
.

故选：A

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

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