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2.2.2 直线的两点式方程

（基础知识+基本题型）

知识点一 直线的两点式方程

1. 直线的两点式方程的定义

=

就是经过两点
(其中
)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.

2. 当直线的斜率不存在（
）或斜率为
（
）时，不能用两点式方程，若

，
,则直线方程为
若
、
，则直线方程为
.

提示：

(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴平行（或重合）或垂直的直线.

(2)对于两点式中的两点，只要是直线上的两个点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关.

(3)将两点式化成整式：
.用该式可求出过平面内的任意两个已知点的直线的方程.

3.若点
的坐标分别为
，是线段

的中点M的坐标为
则有中点坐标公式：

.

知识点二 直线的截距式方程

直线与
轴的交点
的横坐标
叫做直线在

轴上的截距，若此时直线在
轴上的截距为
，则直线的方程为
此方程由直线在两个坐标轴上的截距
与
确定，所以叫做直线的截距式方程.

拓展

（1）到
轴和

轴上的截距，反之，若已知直线在
轴和
轴上的截距（都不为
），也可直接由截距式写出方程.

（2）由截距式的方程可知，截距式的方程只能表示在
轴、
轴上的截距都存在，且不为
的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与
轴垂直的直线、与

轴垂直的直线.过原点的直线可以表示
；与
轴垂直的直线可以表示
；与
轴垂直的直线可以表示
.

（3）直线与两坐标轴都相交（非原点）时，直线与两坐标轴围成直角三角形，围绕三角形的面积考查时要注意截距式与“距离”的关系.
内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 线
的方程为
.

又因为
过点
，所以

，解得
.所以直线
的方程为
，即
.

当直线

在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为
，即
.

综上，直线

的方程为
或
.

总结：用截距式求直线方程的步骤

（1）由已知条件确定直线在轴和y轴上的截距.

（2）若截距为0，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为0，则代入公式
中，可得所求直线方程.

考点三：直线方程的综合应用

例3．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），分别求BC边上的高和中线所在的直线方程．

【答案】3x－5y+15=0 x+13y+5=0

【解析】 BC边上的高某某BC垂直，由此求得BC边上的高某某在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC的中点坐标，由两点式得BC边上的中线所在的直线方程．

设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，

∴

，∴
，解得
，

∴BC边上的高某某在的直线方程是
，即3x－5y+15=0．

设BC的中点是M，则
，

∴BC边上的中线所在直线方程是
，即x+13y+5=0．

∴BC边上的高某某在的直线方程是3x－5y+15=0，BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．

总结：求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC边上的高某某在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．

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