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2.2.2 直线的两点式方程

（基础知识+基本题型）

知识点一 直线的两点式方程

1. 直线的两点式方程的定义

=

就是经过两点
(其中
)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.

2. 当直线的斜率不存在（
）或斜率为
（
）时，不能用两点式方程，若

，
,则直线方程为
若
、
，则直线方程为
.

提示：

(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴平行（或重合）或垂直的直线.

(2)对于两点式中的两点，只要是直线上的两个点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关.

(3)将两点式化成整式：
.用该式可求出过平面内的任意两个已知点的直线的方程.

3.若点
的坐标分别为
，是线段

的中点M的坐标为
则有中点坐标公式：

.

知识点二 直线的截距式方程

直线与
轴的交点
的横坐标
叫做直线在

轴上的截距，若此时直线在
轴上的截距为
，则直线的方程为
此方程由直线在两个坐标轴上的截距
与
确定，所以叫做直线的截距式方程.

拓展

（1）到
轴和

轴上的截距，反之，若已知直线在
轴和
轴上的截距（都不为
），也可直接由截距式写出方程.

（2）由截距式的方程可知，截距式的方程只能表示在
轴、
轴上的截距都存在，且不为
的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与
轴垂直的直线、与

轴垂直的直线.过原点的直线可以表示
；与
轴垂直的直线可以表示
；与
轴垂直的直线可以表示
.

（3）直线与两坐标轴都相交（非原点）时，直线与两坐标轴围成直角三角形，围绕三角形的面积考查时要注意截距式与“距离”的关系.

（4）求截距的方法

在直线
的方程中，令
，解出
的直线，即得直线
在

轴上的截距.令

，解出
的值，即得出直线
在
轴上的截距.

考点一 直线的两点式方程

例1.（1）已知直线

经过点
，求直线
的方程；

（2）已知点

在过点
的直线上，求
的值；

（3）三角形的三个顶点分别是
，求三角形三边所在直线的方程.

解：（1）因为点A与点B的横坐标相等，所以直线

没有两点式方程，故所求直线方程为
.

（2）由两点式方程，得过A，B两点的直线方程为

，即
.

又因为点

在直线AB上，所以
，得
.

（3）由两点式，得边AB所在直线的方程为

，即
.

同理，边BC所在直线的方程为

，即
.

边AC所在直线的方程为

，即
.

总结：

1.利用两点的坐标写直线的两点式方程时，一定要注意
.

2.若点P在直线AB上，则点P的坐标满足直线AB方程.

求直线的两点式方程的策略及注意点

（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑两点式求方程.

（2）用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.

考点二 利用截距式求直线方程

例2.（1）求在

轴上的截距分别是
的直线方程；

（2）求过点

，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线
的方程.

解：（1）根据直线方程的截距式，得直线方程为

，化简得
.

（2）当直线

在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线
的方程为
.

又因为
过点
，所以

，解得
.所以直线
的方程为
，即
.

当直线

在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为
，即
.

综上，直线

的方程为
或
.

总结：用截距式求直线方程的步骤

（1）由已知条件确定直线在轴和y轴上的截距.

（2）若截距为0，则直线 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。

设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，

∴

，∴
，解得
，

∴BC边上的高某某在的直线方程是
，即3x－5y+15=0．

设BC的中点是M，则
，

∴BC边上的中线所在直线方程是
，即x+13y+5=0．

∴BC边上的高某某在的直线方程是3x－5y+15=0，BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．

总结：求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC边上的高某某在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．

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