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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法

三. 知识要点

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

（三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；

（四）求函数的最值

1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；

2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；

3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】

考点一：求函数解析式

1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。

解：由4x2－9y2＝36可解得：

。

说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成
的形式。

2、待定系数法：由题 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 数；

（2）与墙连接的一边多长时，鸡场的面积最大？

试题答案

一. CDDAA CB

二. 8、－26；

9、［－4，2
；

三、10、解：由5－x≥0解得：x≤5；又由x＋2≠0解得：x≠－2；故所求函数定义域为：
。

11、解：若|a|≤2，则可解得a＝
；若|a|>2，则可解得a＝－3。

12、解：由条件式，以－x替换x可得：2f（－x）－f（x）＝－x2－4x，联立两式可解得：f（x）＝
。

13、解：（1）y＝x（60－x），x∈（0，60）.

（2）y＝x（60－x）＝－（x－30）2＋900≤900，当x＝30时取等号，故当x＝30米某某，鸡场面积最大为900平方米。

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