函数值域的类型和求法
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函数值域（总结）
一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）
1、求的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：
2、求函数的值域。
分析：首先由0，得+11，然后在求其倒数即得答案。
解：0+11，０＜１，函数的值域为（０，１]．
练习
1：已知函数，，求函数的值域。
2：求函数的值域。
3：求函数的值域。
4：求函数的值域。
二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）
1、求函数的值域。
设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
2．求函数在区间的值域。
分析与解答：由配方得：，
当时，函数是单调减函数，所以；
当时，函数是单调增函数，所以。
所以函数在区间的值域是。
故函数的值域为：。（反函数的定义域即是原函数的值域）
三、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断）
1、求函数的值域。
由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△，△
注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。
将分别代入检验得不符合方程，所以。
2、求函数的值域。
解答：先将 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 。
2、求函数的值域。
解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，
∴函数在定义域上是增函数。
∴，
∴函数的值域为。
3、求函数在区间上的值域。
分析与解答：任取，且，则
，因为，所以：，
当时，，则；
当时，，则；而当时，
于是：函数在区间上的值域为。
值域逆向问题
一、一元二次函数已知值域求参数
?例1：已知函数的值域为，求的取值范围。
? 分析：要大部分学生认为首先要开口向上，然后满足。 其实，这里学生犯的错误是没理解清楚值域为的真正含义，它是要求值域从0开始全部都要取到，不能多也不能少。当时，不满足题意，所以只有时满足。
?解法1：的值域为
?时满足，??? 解得
?解法 2：，开口向上，也可理解为，解得。
?例2：已知函数的值域为，求的取值范围。
?解：的值域为，?
? 又，?
?
由题意有 在上成立，
? 即在上恒成立，
，?? 解得? 。
?注意：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。
?二、含偶次根号的函数已知值域求参数
?例3:已知函数的值域为，求的取值范围。
???若设，在不知道取值的情况下，的值的范围是的一个子集，要满足，要取遍非负实数，所以且开口向上。?
正解: 时，，不合题意。
? 时，开口向下，达不到值域为 。
???? 时，设，则
? 且设的值域为D，所以，所以要取遍非负实数，即，解得。
?注意：二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论，若此问题要转化为不等式恒成立问题，要清楚的知道函数定义域，否则会出现错误的答案。
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