函数值域的类型和求法
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函数值域（总结）
一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）
1、求的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：
2、求函数的值域。
分析：首先由0，得+11，然后在求其倒数即得答案。
解：0+11，０＜１，函数的值域为（０，１]．
练习
1：已知函数，，求函数的值域。
2：求函数的值域。
3：求函数的值域。
4：求函数的值域。
二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）
1、求函数的值域。
设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
2．求函数在区间的值域。
分析与解答：由配方得：，
当时，函数是单调减函数，所以；
当时，函数是单调增函数，所以。
所以函数在区间的值域是。
故函数的值域为：。（反函数的定义域即是原函数的值域）
三、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断）
1、求函数的值域。
由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△，△
注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。
将分别代入检验得不符合方程，所以。
2、求函数的值域。
解答：先将此函数化成隐函数的形式得：，(1)
这是一个关于的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式，
解得：。
故原函数的值域为：。
四、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）
1、求函数的值域。
由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：
注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。
2、求函数的值域。
解：令（），则，
∴
∵当，即时，，无最小值。
∴函数的值域为。
五、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）
2、求函数的值域。
分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。
在对应的区间内，画出此函数的图像，如图1所示，易得出函数的值域为。
六、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式）
1、求函数的值域。
解：∵，
∵，∴，
∴函数的值域为。
2、求函数的值域。
观察分子、分母中均含有项，可利用部分分式法；则有不妨令：从而
注意：在本题中应排除，因为作为分母。所以故
2、如对于函数，利用恒等变形，得到：，
容易观察得出此函数的值域为。
注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
七、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）
1、求函数的值域。
此题可以看作和，的复合函数，显然函数为单调递增函数，易 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。
?二、含偶次根号的函数已知值域求参数
?例3:已知函数的值域为，求的取值范围。
???若设，在不知道取值的情况下，的值的范围是的一个子集，要满足，要取遍非负实数，所以且开口向上。?
正解: 时，，不合题意。
? 时，开口向下，达不到值域为 。
???? 时，设，则
? 且设的值域为D，所以，所以要取遍非负实数，即，解得。
?注意：二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论，若此问题要转化为不等式恒成立问题，要清楚的知道函数定义域，否则会出现错误的答案。
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