第二章线性方程组 习题一 消元法
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第二章 线性方程组
习题一 消元法
一、用消元法解方程组
解：对这个线性方程组的增广矩阵进行初等变换
.
二、求的值，使方程组有解，并求出其解.
解：对这个线性方程组的增广矩阵进行初等变换
时方程组有解，其通解为：.
习题二 维向量空间
一、向量与向量相等吗？应怎样表达他们之间的关系？
答：不相等，.
二、设求向量，使
.
解：由得
，
.
即
，
.
三、已知向量满足，试求常数.
解：由得
解得 .
习题三 向量间的线性关系
一、设，，
当为何值时，向量组线性相关？
当为何值时，向量组线性无关？
当 线性相关时，可否由线性表示?若能，求 其表示系数.
解：（1）当，即时，
线性相关.
（2）当，即时，线性无关.
（3）当时，解线性方程组，即
得
所以可由线性表示，表达式为：
.
二、试判断向量＝可否由向量组，，
线性表出？若能，请试写出其一种表示法.
解：解线性方程组
即
即 ，
令，得，.
试判断向量可否由向量组，
线性表出？若能，请试写出其一种表示形式.
解：解线性方程组
即
即，当时，.
所以.
四、判断下列向量组是否线性相关，若相关，试找出其中一个向量，使得这个向量可由其余向量线性表出，并写出它的一种表示方式：
(1) ；
（2）
解：（1）解齐次线性方程组，即
这个齐次线性方程组只有零解，故其线性无关.
（2）解齐次线性方程组，即
即 ，当时，得到一组非零解，
故这个向量组线性相关，且有.
五、证明：若线性相关，而线性无关，则：
(1) 可由线性表示；
（2）不可由线性表示.
证明：(1)因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，故可由线性表示.
（2）反设可由线性表示，即
由(1)可设，代入得
，与线性无关矛盾，故不可由线性表示.
六、设向量是线性无关的一组四维向量，则任意一个四维向量都可以由线性表示.
证明：由于线性无关，而线性相关，
故任意一个四维向量都可以由线性表示.
习题四 向量组的秩
一、已知向量组的秩为，证明：该向量组中的任意个线性无关的向量都是它的一个极大无关组.
证明：设是向量组中任意个线性无关的向量，设是向量组的一个极大无关组，再设是向量组中任意一个向量，则向量组可由极大无关组线性表出.故向量组线性相关，而线性无关，因此中任意一个向量可由线性无关组线性表出，所以向量组中的任意个线性无关的向量都是它的一个极大无关组.
证明：若向量组线性相关，则向量组，
，，也线性相关.
证明：显然，向量组可由向量组线性表出，故秩（）秩（），而向量组线性相关，有秩（），则
秩（），所以向量组也线性相关.
三、设是维列向量组，试证：秩 的充 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 意常数.
四、证明题
1. 设向量组线性相关，且它们都不是零向量，求证：其中至少有两个向量，这两个向量中的每一个都可由其余向量线性表示.
证明：由于向量组线性相关，故存在不全为零的数
，使得，又由于它们都
不是零向量，故存在至少某两个（否则若只有某一
个，便会有，而，这是一个矛盾），有
（右边没有）
（右边没有）
所以这个向量组中至少有两个向量，这两个向量中的每一个都可
由其余向量线性表示.
2. 若齐次线性方程组
中方程个数，则它有非零解.
证明：因为这个齐次线性方程组的系数矩阵的秩（），秩（），而，所以秩（），故它有非零解.
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