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第二节　基本初等函数、函数与方程

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1．指数式与对数式的七个运算公式

(1)am·an＝am＋n；

(2)(am)n＝amn；

(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(4)loga＝logaM－logaN；

(5)logaMn＝nlogaM；

(6)a＝N；

(7)logaN＝(注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0)．

2．指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象和性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数；函数y＝ax的定义域为R，值域为(0，＋∞)，恒过定点(0,1)，函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R，恒过定点(1,0)，且y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称．

3．函数的零点问题

由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．

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热点一　基本初等函数的图象与性质

【例1】　若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|(a＞0，且a≠1)满足f(x)≤1，则函数y＝loga(x＋1)的图象大致为(　　)

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【互动探究】　(1)若本例变为：函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

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(2)若本例变为：函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(　　)

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【例2】　(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)

A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z

【互动探究】　若将本例改为“log2x＝log3y＝log5z＜－1”，则(　　)

A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y

【例3】　(2019·**_*联合体联考)若函数f(x)＝1＋|x|＋x3，则f(lg2)＋f＋f(lg5)＋f＝(　　)

A．2　　　B．4 C．6　　　D．8

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(1)对数函数与指数函数的单调性取决于其底数的值，若底数a的值不确定，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论；

(2)幂、指数、对数式比较大小通常利用函数的单调性，这就需要观察要比较大小的数和式子的结构特征，寻找共同点(如指数相同，底数相同等)，构造相应函数；也可以通过中间值(特别是0和1)作媒介传递达到比较大小的目的；特殊值法也是解决比较大小的快速且有效的方法．

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题组通关TIZUTONGGUAN

1．(2019·*_**函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)

A． B． C．2 D．4

2．(2019·**_*已知点(2,8)在幂函数f(x)＝xn图象上，设a＝f，b＝f(20.2)，c＝f，则a、b、c的大小关系为(　　)

A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a

3．(2019·**_*函数y＝loga(x＋4)＋2(a＞0且a≠1)的图象恒过点A，且点A在角θ的终 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

『模拟演练』

5．(2019·**_*实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　)

A．＜1 B．2－x＜2－y C．lg(x－y)＞0 D．x2＞y2

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