第十二章无穷级数填空题
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第十二章 无穷级数
一．填空题
1．设级数收敛，则级数的和 ．
2．幂级数的收敛域为 ．
3．已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为 ．
4．设幂级数的收敛半径为3，则的收敛区间为 ．
5．级数的和 ．
二．选择题
1．设为常数，则级数 （ ）
A．绝对收敛； B．条件收敛； C．发散； D．收敛性与的取值有关．
2．已知级数在处收敛，则其在处 （ ）
A．绝对收敛； B．条件收敛； C．发散； D．收敛性不确定．
3．设，，，则下列命题中正确的是 （ ）
A．若条件收敛，则与都收敛；
B．若绝对收敛，则与都收敛；
C．若条件收敛，则与的收敛性都不确定；
D．若绝对收敛，则与的收敛性都不确定．
4．下列命题中正确的是 （ ）
A．设正项级数发散，则（）；
B．设收敛，则收敛；
C．设，至少一个发散，则发散；
D．设收敛，则，均收敛．
5．下列命题中正确的个数是 （ ）
⑴ 若收敛，则收敛；
⑵ 若为正项级数，（…），则收敛；
⑶ 若存在极限，且收敛，则收敛；
⑷ 若（…），又与均收敛，则收敛；
A．1； B．2； C．3； D．4．
三．解答题
1．求幂级数的收敛域及和函数．
2．求的收敛域及和函数，并由此求级数的和．
3．将展开成的幂级数，并指出其收敛区间．
4．将函数展开成以为周期的正弦级数．
5．设是单调增加且有上界的正数列，证明级数收敛．
参考答案
一．填空题
1．设级数收敛，则级数的和 ．
提示：，．
2．幂级数的收敛域为 ．
提示：，时级数收敛，
当时，级数变为发散．其收敛域为．
3．已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为 ．
提示：的收敛域为，的收敛域为．
4．设幂级数的收敛半径为3，则的收敛区间为 ．
提示：的收敛半径为3，的收敛区间为．
5．级数的和 ．
提示：，．
二．选择题
1．设为常数，则级数 （ C ）
A．绝对收敛； B．条件收敛； C．发散； D．收敛性与的取值有关．
2．已知级数在处收敛，则其在处 （ A ）
A．绝对收敛； B．条件收敛； C．发散； D．收敛性不确定．
提示：由阿贝尔定理知当时绝对收敛．
3．设，，，则下列命题中正确的是 （ B ）
A．若条件收敛，则与都收敛；
B．若绝对收敛，则与都收敛；
C．若条件收敛，则与的收敛性都不确定；
D．若绝对收敛，则与的收敛性都不确定．
4．下列命题中正确的是 （ C ）
A．设正项级数发散，则（）；
B．设收敛，则收敛；
C．设，至少一个发散，则发散；
D．设收敛，则，均收敛．
5．下列命题中正确的个数是 （ A ）
⑴ 若收敛，则收敛；
⑵ 若为正项级数，（…），则收敛；
⑶ 若存在极限，且收敛，则收敛；
⑷ 若（…），又与均收敛，则收敛；
A．1； B．2； C．3； D．4．
三．解答题
1．求幂级数的收敛域及和函数．
解：收敛域．设，
则 ，，
故 ．
2．求的收敛域及和函数，并由此求级数的和．
解：设，，，
故 ，．
令，则有 ．
3．将展开成的幂级数，并指出其收敛区间．
解：由，
其中 ，
，
故 ．
4．将函数展开成以为周期的正弦级数．
解：将在上作奇延拓，，
，
．
5．设是单调增加且有上界的正数列，证明级数收敛．
证明：因单调增加且有上界，故收敛，设 ．
由于 ，
设 ，则,
从而收敛 ，由比较判别法知：收敛．
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