导数加练半小时
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一、精题细练：变化率
1．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于( )
A．8πR(ΔR) B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
2．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(2,5)及附近一点(2＋Δx,5＋Δy)，则为( )
A．Δx＋＋4 B．Δx－－4
C．Δx＋4 D．4＋Δx－
3.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1，在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A.k1k2
C.k1=k2 D.无法确定
4．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是( )
A．甲的日生产量大于乙的日生产量
B．甲的日生产量小于乙的日生产量
C．甲的日生产量等于乙的日生产量
D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小
5.函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为 .
6.若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)：
s＝
物体在t∈[3,5]内的平均速度为 .
7．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
8.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t2，则物体的初速度是________.
9.若函数f(x)=-x2+x在[2，2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于-1，则Δx的取值范围为 .
10．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
11.已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
12.路灯距离地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为 m/s.
二、知识解读：导数的概念
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝
＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
3．下列各式中正确的是( )
A．f′(x0)＝
B．f′(x0)＝
C．f′(x0)＝
D．f′(x0)＝
4.设f（x）在x处可导，则等于（ ）
A.2 f′（x） B. f′（x） C. f′（x） D.4 f′（x）
5.已知f（3）=2，f′（x）=㧟2，则=（ ）
A.㧟4 B.6 C.8 D.不存在
6.设f(x)为可导函数，当x趋近于0时，趋近于－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
7.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f ′ (0)＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
8.已知f(x)＝，且f ′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4 B．2 C．－2 D．±2
9．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．3
10.已知y＝，则y′|x＝1＝________.
11.函数f(x)＝x－在x＝1处的导数为 ．
12. 已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
三、学以致用：求瞬时速度
1.质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为( )
A．4＋4t0 B．0
C．8t0＋4 D．4t0＋4t
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3 C．6 D．－6
3.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )
A．米/秒 B．米/秒
C．8米/秒 D．米/秒
4.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则瞬时速度为0 m/s的时刻是( )
A．s B．s C．s D．s
5.已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )
A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
6.物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A． B．
C． D．
7. 一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
A．at0 B．－at0 C. at0 D．2at0
8.已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7，则其在t=________时刻的速度为7.
9.若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)：
s＝
物体在t＝1时的瞬时速度为 ；物体的初速度v0= .
10.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则a= ．
11.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)为
f(x)＝
求开始加热后第15分钟某某4小时沥青温度变化的瞬时速度分别为 、 .
12.已知一质点M按运动方程为s(t)＝13－8t＋t2，且若质点M在t＝t0时的瞬时速度为4，则t0= ．
四、能力提升：导数定义的应用
1．若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( )
A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关 D．以上答案都不对
2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝3Δx＋2(Δx)2，则( )
A．f′(x)＝ 3 B．f′(x)＝2
C．f′(x0)＝3 D．f′(x0)= 2
4．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．3
5.设f(x)＝f ′(1)＋，则f(4)＝________.
6．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝－3，则m＝________.
7.已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设s时的速度为（m/s），则=3s时轿车的瞬时加速度为_________m/s2.
8. f(x)＝＋3在处的导数为 .
9.已知函数y＝2＋4x在处的导数是12，则 .
10.设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0) ＝ .
11．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是__________.
12.一个物体的运动方程为s＝1－t＋.其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为________．
五、能力提升：某点处的切线方程
1.若曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x+y-1则( )
A.f′(x0)＞0 B. f′(x0)=0
C. f′(x0)＜0 D.f′(x0)不存在
2.曲线y=4x-x3在点(-1，-3)处的切线方程是( )
A.y=7x+4 B.
C.y=x-4 D.y=x-2
3.若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为( )
A. 4x-y-4=0 B. 4x+y-4=0
C 4x-y-12=0 D. 4x+y+4=0
4.曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
5.曲线y=x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 ( )
A. B. C. D.
6．已知曲线f(x)＝ax3＋1在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－1＝0，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝________.
8.曲线y＝在点(1,1)处的切线方程 ．
9.若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为________．
10.已知曲线y＝x3＋.则其在横坐标为2的点处的切线方程为 .
11．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________．
12.已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.则使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程为 ．
六、思维突破：切线斜率或切点坐标
1.设f(x)为可导函数且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
2.已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )
A． B．－
C． D．－
3.已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( )
A．0 B．2
C．4 D．6
4.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B．
C．－ D．－1
5.若曲线y=在点处的切线方程为=0，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7.已知抛物线y＝2x2＋1,则抛物线上点 的切线的倾斜角为45°.
8.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
9．已知点A(0，1)和点B(－1，－5)在曲线C：为常数)上，若曲线C在点A、B处的切线互相平行，则 ．
10.已知曲线y=f(x)=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标为________.
11.曲线y＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标是________________.
12.抛物线f(x)=x2+bx+c在点(1，2)处的切线与其平行直线bx+y+c=0间的距离是________.
七、能力提升： 切线倾斜角或范围
1.曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( )
A．1 B．
C．π D．－
2．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围
为( )
A．∪ B．∪
C． D．
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B. [0，π)
C. D.∪
4. 设曲线在处切线的倾斜角的取值范围是，则到曲线对称轴的距离的取值范围是 （??? ）
A.???????? B. ??????C.?????? D.
5.若θ为曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角,且所有θ组成的集合为,则实数a的值
为 .?
6.如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 .
7.已知曲线若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为 .
8．在区间[-6,6]内任取一个元素x0,抛物线x2=4y在x=x0处的切线的倾斜角为α,则α∈的概率为 .?
9.若点P在曲线上移动，则过点P的切线的倾斜角的取值范围是 .
八、学以致用：导数的几何意义的应用
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )
A.在x=x0处的函数值
B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C.曲线y=f(x)在点 (x0，f(x0))处的切线的斜率
D.点(x0，f(x0))与原点连线的斜率
2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)
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