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李某某 XX师范大学

【主题】球的表面积

【教材内容】15.4球的表面积

【教学对象】高中三年级学生

【教学目标】

知识与技能：

了解球的表面积.

理解并掌握推导“球的表面积”所使用的数学建模以及类比的方法.

能综合运用“微分”“建模”等方法解决类似数学问题.

过程与方法：

1. 运用媒体演示实践证明“球的表面积”的活动， 培养动手能力，发展实践检验数学结论的钻研意识.

2.参与对“球的表面积”的推导过程，尝试运用“建模”“类比”等方法独立思考证明方法，培养灵活运用数学知识的能力.

3.学习通过实验、分析问题、类比、归纳结论、参考历史资料等途径来解决问题的方法和过程.

情感态度价值观：

在讨论思考公式推导过程中，领悟独立思考与交流合作相结合的学习方法，养成勤动脑，多实践的学习习惯.

在结合历史学习方法的环节中体会数学的发展进程，欣赏数学学科的成长过程.

【教学重点】结合图示帮助理解“微分、求和、取极限”的推导方法.

【教学难点】通过一系列课堂活动掌握解决“球的表面积”的问题的过程和方法.

【教学方法】动手操作，小组讨论与独立思考并用的形式.

【教学手段】PPT，板书，教具

【教学过程设计】

设计理念

教学过程

教学环节

教 学 内 容

教师活动

学生活动

呈现方式



一、提出问题，引发思考(1min)

简单提到之前所学球的体积（本节课需要这个知识点），引出新课——如何计算球的表面积？

复习“球的体积”，并引入新课题.

跟着教师一起复习，对提出的新问题进行思考.

PPT给出新课课题.



二、动手实践，合情演绎(2min)

阿基米德提出球体表面积应该和球的大圆有关，下面将通过实验来探究两者之间的关系（准备教具：绳子，半球体）。

1．将绳子围绕在半球体的球面直到整个半球面（不包含底部）都被绳子包围；

2．剪下所用长度的绳子，然后将绳子拿下来平铺在半球面的底部上（此时可将底部朝上），如果绳子没有用完，便在此基础上再平铺一层，直到绳长.子度用完；

3．观察现象：绳子的长度应该正好够平铺两层“底部”，即两个完整球体大圆面，也就是说半球面的大小相当于两个大圆面的大小；

4．实验证明： S=4π

??

2

。

实验示意图如下：

教师带领学生进行实验.

学生自己动手实践，参与课堂活动.

用视频或者动画演示



三、重温历史，复原思考(3min)

3

1．微分“棱锥”法

/

（1）生活经验

大家有在小摊上买西瓜的经历，瓜贩为向客人“显摆”自己的瓜，会用小刀切一个三角口子，实际上瓜贩取出的是一个底面为曲面的一个椎体，可近似地看成棱锥。

如果西瓜“长得好”，呈球形，小贩的刀能扎得深一些，正好扎到“球心”，接着做同样的工作，把整个西瓜分割成许许多多的小锥体。放置于桌面上，这时我们能悟到球的体积与表面积之间的关系。（接下）

介绍方法.

积极思考.

PPT.

动画演示





（续上）（2）思考：请想一想，为什么？

（3）利用生活经验推导计算方法

1）设球 的半径为 R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用△S1,△S2, △S3......△Si...表示，则球的表面积:S=△S1+△S2+ △S3+...+△Si+..

2）以这些“小球面片”为底，球心为顶点的这些“小锥体”这些可近似地看成棱锥，他们的体积之和就是球的体积

3）“小锥体”的底面积即为△Si，球的半径R 近似地等于小棱锥的高hi ，因此，第i个小棱锥的体积Vi=hi* △Si，

内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 考的学生的思考范围，学生难以理解什么是“不可展曲面”，为什么因为球面是不可展曲面便不能像圆一样“微分求和”得到面积，学生仅仅为了考试而死记硬背公式，机械代入运算求解，思维并没有得到应有的发展，这样不利于学生之后空间几何内容的学习，也没有得到素质教育中要求的发散性思维能力的拓展与提升。

教师在教学活动中应该把提升学生对数学的热爱作为主要任务之一，指引学生在“火热的思考”中体会数学“冰冷的美丽”。因此，我选取“球的表面积”作为主题，利用一个课时（约15分钟）进行一个“公式推导”的数学活动，意在希望学生从中体会公式推导的过程，提升探究思考的能力与动手能力，并对空间几何体有一个更全面系统的认识。

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