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第一章 函数与极限 练习题

一、试解下列各题：

1． 设
，则此函数的定义域是 ；

2． 函数
的定义域是 ；

3． 函数
的定义域是 ；

4． 极限
；

5．
的值等于 ；

6．
= ；

7． 数列极限
（其中
）的值是 ；

8． 极限
；

9． 若
，极限
；

10．数列极限
；

11． 极限
；

12．
的值等于 ；

13． 极限
；

14． 极限
；

15． 若要
，则需
；

16． 设
时，
是比
高阶的无穷小，则当
时，无穷小
与无穷小
的关系是 ；

17． 设函数
，在
处连续，则必
；

18． 设
处处连续，且
，则
；

19． 若

在
处连续，则要
；

20． 函数
的一个无穷间断点为 ；

21． 曲线
的渐近线方程是 ；

22．设
，
。则
；

二、试解下列各题：

1． 函数
在其定义域
上是（ ）

（A）有界函数 ； （B）周期函数 ； （C）偶函数 ； （D）奇函数。

2． “数列极限
存在”是“数列
有界”的（ ）

（A）充分必要条件；（B）充分但非必要条件；（C）必要但非充分条件；（D）既非充分条件也非必要条件

3． 数列极限
是（ ）

（A） 1 ； （B）
； （C）
； （D）不存在但非

4． 极限
的结果是（ ）

（A）0 ； （B）
； （C）
； （D）不存在

5． 极限
的结果是（ ）

（A） 0 ； （B）
； （C）
； （D）不存在

6． 极限
的结果是（ ）

（A）无穷大 ； （B） 0 ； （C）
； （D）不存在，也不是无穷大

7． 当
时，
是
的 （ ）

（A） 高阶无穷小；（B） 同阶无穷小，但不是等价无穷小；（C） 低阶无穷小；（D） 等价无穷小。

8．设

，则
是
的（ ）

（A） 连续点；（B） 可去间断点；（C） 跳跃间断点；（D）无穷间断点。

9．设

，
是
的（ ）

（A）连续点 ； （B）可去间断点 ； （C）跳跃间断点 ； （D）振荡间断点。

10． 设
，则
是
的（ ）

（A）可去间断点； （B）跳跃间断点； （C）无穷间断点； （D）振荡间断点。

11． 设

，则
是
的（ ）

（A）连续点 ； （B）跳跃间断点 ； （C）无穷间断点 ； （D）振荡间断点

三、试解下列各题：

1． 试确定
的值，使
。

2． 研究并确定

3． 确定
的间断点，并判别其类型。

4． 设

，问
取何值时
在
处连续。

5．设

研究
的连续性。

6． 求数列极限

7． 对所有正整数
有
，且
，求

8． 证明数列
收敛。

9． 证明：方程
在
内至少有一个实根。

10． 证明：方程
在
内有实根。

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即
有界，又
，所以
单调。则
存在。

令
，则
，
。所以
或

8．证明：

，所以数列单调增加。

又，对每个
，

所以 数列
有界，所以 数列
收敛。

9．证明：设
， 在
内连续。

由于
，

则由零点定理得
在
内至少存在一点
，使得

即方程
在
内至少有一个实根。

10．证明：令


在[-1，1]上连续，
，

存在
，使
。即
在（-1，1）内有实根。

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