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《高等数学》课程入学水平测试网上辅导材料

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下方是正文

一、参考书目

《高等数学（上）》（第一分册）（柳重堪主编，中央广播电视大学出版社出版。

二、内容要求

一元函数微分学、一元函数积分学两个部分，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用等方面的知识。

试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题要求写出文字说明、演算步骤。三种题型分数的百分比大约为：单项选择题与填空题40%，解答题60%。

水平测试试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在试卷中的比例为：4:4:2。

水平测试采用闭卷笔试形式，卷面满分为150分，考试时间为90分钟。

（一） 函数

1． 理解函数的概念；掌握函数/中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。

2．了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性

若对任意/，有/，则/称为偶函数，偶函数的图形关于/轴对称。

若对任意/，有/，则/称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。

3．熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

基本初等函数是指以下几种类型：

常数函数：

幂函数：

指数函数：

对数函数：

三角函数：

反三角函数：

4． 了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。如函数
,可以分解
，
，
，
。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。

5． 会列简单的应用问题的函数关系式。

（二） 极限与连续

1． 了解极限的概念，会求左右极限

极限
存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等

2． 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质

（1）若函数
时的无穷小量

（2）有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小

3． 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法

(1) 极限的四则运算法则

设

，则

。

(2) 两个重要极限

第一重要极限：

第二重要极限：

4． 了解函数连续性的定义，会判断函数的连续性

(1) 函数连续性的定义

(2) 初等函数在其定义域内连续

（三） 导数与微分

1． 理解导数与微分概念（微分用
定义），了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系

（1）
在点
处可导是指极限

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5.若函数
，则
．

6．已知函数
的驻点是
，则
．

7．函数
的单调减少区间是　　 　　　．

8．经过点(2, 10 )，且在每一点的切线斜率都等于3x的曲线方程是　　　 　　　．

9.

（三）计算题

1． 求函数的极限

（1）
(2)

(3)
（4）

(5)

2．求函数的导数或微分

（1）已知

，求
(2) 设
，求
．

（3）设
，求
． （4）设
，求
．

（5）设
，求
．

3．求函数的不定积分

（1）
（2）

（3）
（4）

（5）

4． 求函数的定积分

（1）
（2）

（3）
(4)

（5）

参考答案

单项选择题

1．A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C

（二）填空题

1.
2.
3.
4.

5. -1 6. 2 7．（-1，0） 8．

9.

（三）计算题

1．求函数的极限

（1）解：

（2）解：

（3）解：连续利用罗比塔法则两次

（4）解：连续利用罗比塔法则两次

(5) 解：利用第二重要极限公式

=
=
=

2．求函数的导数或微分

解：

(x)=
=

=

(2) 解：

，

（3） 解：

（4）解：

=

（5）解：

，

3． 求函数的不定积分

（1） 解：利用不定积分的第一换元法

（2）解：利用不定积分的第一换元法

） 解：利用不定积分的第一换元法

（4） 解：先整理被积函数后，再用积分基本公式和第一换元法

解：利用不定积分的第一换元法

=
=
　

求函数的定积分

（1） 解：利用到：奇函数在以原点为心的对称区间上的积分是零

解：利用牛顿—莱布尼兹公式

解：利用定积分的分部积分公式

设
有

解：利用定积分的分部积分公式

设

有

解： 利用定积分的分部积分公式

设

有

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