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首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛

(2006 - 2007)

中一组个人赛题解

除非特别声明，答案须用数字表达，并化至最简。





甲部十五题，每题5分。

1. 已知 39 × 410 × 59的乘积的个位数字是a，求a 的值。

答案： 0

(因 2 及 5 的积是 10.)

2. 图一是一个由25种不同颜色的小正方形组成的大正方形。数数看，它共有多少个不同的正方形?





























































图一

答案: 55

解：设每个小正方形的边长为1

边长为1 的正方形有52 = 25个

边长为2 的正方形有(5 – 1)2 = 4 = 16个

边长为3 的正方形有(5 – 2)2= 3 = 9个

边长为4 的正方形有(5 – 3)2 = 2 = 4个

边长为5 的正方形有(5 – 4)2 = 1 =1个

共有55个

3. 某按摩椅生产商为促销按摩椅，作了以下的优惠承诺：

任何顾客购买按摩椅，可获25%折扣；

若是会员，可折後再折35%；

若是会员，同时又是长者，可额外再折40%。

若一名长者会员以585元购买了一台按摩椅，问买价较原价便宜了多少元？

答案: 1415元

解：由于折扣可以连绩使用，每次折扣的母数为前项折扣后的余数:

原价:
= 2000

共节省了2,000-585=1,415元

4. 已知7 × 9 × 11 × 13 × 15 ×… × 1999 × 2001 × 2003 × 2005的积的个位数字是y，求y的值。

答案： 5

5. 已知
，求c值。

答案: 49/100

c = (1/2 – 1/3 )+ (1/3 -1/4 )+ (1/4 – 1/5) + (1/5 – 1/6) +…+ (1/98 -1/99) +(1/99 -1/100)

= 1/2 – 1/100

=50/100 – 1/100=49/100

6. 观察下列数列，找出第90个数除以3的余数是多少？

10，13，23，36，59，95，154，…

答案： 1

每个数除以3的余数会得出一个规律：

1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, . . . . . .

每8个数便出现一个周期

所以 90 ÷ 8 = 11 . . . 2，即第90个数除以3的余数是周期的第2个数，即 1。

7. 图二所示为一个由长16cm、阔w cm的长方形纸折成的梯形。已知折掉的三角形纸的面

积是原长方形纸的面积的五分之二，求 w的值。

16cm

5cm

w cm

图二

答案 : w = 25

折掉的三角形纸的面积=1/2 (w -5) x 16= 8(w – 5)

或 16 w x 2/5

所以 8(w – 5)= 16 w x 2/5

或 w – 200 = 32 w

w =25

8. 已知p为50以内的一个两位质数，且 2p + 1也是质数。若所有p的和是k，求k的值。

答案：k=104; p=11, 23, 29, 41

9. 已知99条直线的交点的最大数目是 P ，求 P 的值。图三只供参考。

图三

答案: P= 4851

直线的数目： 2 3 4 5 6 7…..99

交点的数目： 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 虑：1，2，3，4，….，105的平均数是53

1，2，3，4，….，106的平均数是53.5

它应该有105个或106个连续数，

由于减去一个数的平均为
，当n =105个，但104 ×
不是整数，故否定了有105个数。

当知道106个数时，可以尝试错误法找出。

或明显而知不会删去106，故应是1 – 105中其中一个数，考虑平均数的分数部，由于是105个数的平均，故将
，当中表示删去的数为106 – 60 = 46。

或1+2+3+….+106= 5671

当减去一个数后，平均为
， n =105

和=
x 105 = 5625

所以减去的一个数应是5671 – 5625 = 46

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