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模块知识梳理 模块整体感悟 / 1 数学必修 4·人教 A 版 / 2 学法点拨 1.加 深 对 数 学 与 实 践 关 系 的 认 识 三 角 函 数 、向 量 都 是 刻 画 现 实 世 界 某 些 现 象 的 重 要 数 学 模 型 .周 期 变 化 现 象 在 现 实 中 大 量 存 在 ,如 音 乐 的 旋 律 、波 浪 、昼 夜 的 交 替 、潮 汐 、钟 摆 的 运 动 、交 流 电 等 ,这 些 现 象 都 可 以 用 三 角 函 数 来 描 述 .实 际 上 ,三 角 函 数 的 产 生 、发 展 与 解 决 具 有 周某某变化规律的问题 﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩 的 需 要 密 切 相 关 .力 、速 度 、位 移 等 也 是 实 际 生 活 中 所 常 见 的 ,它 们 是 向 量 的 实 际 背 景 ,也 是 向 量 描 述 的 对 象 .因 此 ,三 角 函 数 、向 量 的 学 习 能 使 大 家 加深认识数学与实践的紧密联系 﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩 ,通 过 用 三 角 函 数 、向 量 解 决 实 际 问 题 的 实 践 体 会 数 学 的 作 用 和 价 值 ,学 习 用 数 学 的 观 点 看 待 﨩﨩﨩﨩﨩﨩 和处理日常生活以及其他学科的问题的方法. 2.认 识 数 学 内 容 的 联 系 性 ,学 习 数 学 研 究 的 方 法 三 角 函 数 与 《数 学 1》中 的 函 数 概 念 有 着 特殊与一般 﨩﨩﨩﨩﨩﨩 的 关 系 ,三 角 函 数 的 研 究 以 一 般 函 数 概 念 及 其 研 究 方 法 为 指 导 ,同 时 三 角 函 数 的 学 习 可 以 加 深 对 函 数 概 念 的 理 解 .三 角 函 数 及 其 性 质 与 圆 及 其 性 质 有 着 直 接 的 联 系 ,三 角 函 数 的 研 究 很 好 地 体 现 了 数形结合思想 﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩 .在 三 角 函 数 的 研 究 中 ,借 助 单 位 圆 进 行 几 何 直 观 分 析 是 非 常 重 要 的 手 段 ,而 且 这 也 是 学 会 数 﨩﨩﨩﨩 形结合地思考和解决问题的好机会. 向 量 既 是 代 数 的 对 象 ,又 是 几 何 的 对 象 ,它 是 沟 通 代 数 、几 何 及 三 角 函 数 的 桥 梁 﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩 .向 量 是 处 理 数 学 及 现 实 问 题 的 有 效 工 具 .在 本 模 块 中 ,在 向 量 之 后 安 排 三 角 恒 等 变 换 ,让 大 家 经 历 用 向 量 工 具 推 导 两 角 差 的 余 弦 公 式 的 过 程 ,其 目 的 就 是 为 了 让 大 家 体 会 向 量 的 这 种 作 﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩 用 ,进 而 使 大 家 体 会 向 量 与 三 角 函 数 的 联 系 、数 与 形 的 联 系 等 . 总 之 ,通 过 本 模 块 的 学 习 ,大 家 可 以 从 三 角 函 数 及 其 性 质 与 圆 及 其 性 质 的 联 系 ,向 量 与 代 数 、几 何 以 及 三 角 函 数 的 联 系 ,和(差)公 式 及 倍 角 公 式 之 间 的 联 系 等 ,体 会 不 同 数 学 知 识 﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩 在内容与方法上的联系性 﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩 ,学 习 数 学 中 发 现 问 题 、提 出 问 题 和 解 决 问 题 的 基 本 方 法 . 3.发 展 运 算 能 力 和 推 理 能 力 作 为 代 数 对 象 ,向 量 可 以 进 行 运 算 .大 家 已 经 熟 悉 数 与 式 的 运 算 ,这 里 又 将 运 算 发 展 到 向 量 运 算 ,这 是 运 算 的 一 次 飞 跃 . 与 代 数 恒 等 变 换 一 样 ,三 角 恒 等 变 换 也 是 “只 变 其 形 不 变 其 质 ”的 ,变 换 的 目 的 在 于 揭 示 那 些 形 式 不 同 但 实 质 相 同 的 三 角 函 数 式 的 内 在 联 系 ,通 过 简 化 三 角 函 数 式 的 表 现 形 式 而 﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩 认识其本质 﨩﨩﨩﨩﨩 .在 三 角 恒 等 变 换 中 ,大 家 可 以 通 过 探 求 和 (差 )角 公 式 、倍 角 公 式 ,以 及 运 用 这 些 公 式 推 导 和 差 化 积 、积 化 和 差 、半 角 公 式 等 的 实 践 ,学 习 怎 样 预 测 变 换 目 标 、选 择 变 换 、设 计变换途径等. 第一章 三角函数 / 3 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 第一章 三角函数 本章学习先知 内容概要 先 行 一 步 ,步 步 先 行 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 三 角 函 数 是 描 述 客 观 世 界 中 周 期 性 变 化 规 律 的 重 要 数 学 模 型 ,在 数 学 和 其 他 领 域 中 具 有 重 要 作 用 ,它 是 高 中 阶 段 学 习 的 又 一 类 重 要 的 基 本 初 等 函 数 .在 本 章 中 ,首 先 引 进 任 意 角 的 概 念 ,通 过 弧 度 制 ,使 得 角 与 实 数 建 立 了 一 一 对 应 关 系 .借 助 单 位 圆 理 解 任 意 角 的 三 角 函 数的定义,根据三角函数的定义推导同角三 角 函 数 关 系 式 和 诱 导 公 式,它 们 是 三 角 恒 等 变 换 的 重 要 基 础 ,在 求 值 、化 简 三 角 函 数 式 和 证 明 三 角 恒 等 式 等 问 题 中 经 常 用 到 .然 后 以 三 角 函 数 线 为 工 具 ,作 出 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 的 图 象 ,介 绍 用 “五 点 法 ”作 其 图 象 的 方 法 ,借 助 图 象归纳正弦函数、余弦 函 数 的 性 质,进 而 研 究 函 数y=Asin(ωx+φ)与 y=sinx 图 象 的 关 系 ,简 要 地 介 绍 正 切 函 数 的 图 象 和 性 质 .最 后 通 过 实 例 ,用 三 角 函 数 解 决 一 些 简 单 的 实 际 问 题 ,体 会 三 角 函 数 是 描 绘 周 期 性 变 化 现 象 的 重 要 函 数 模 型 . 《课程标准》要求 内容标准 学习要求 1.从 实 际 问 题 情 境 中 认 识 角 的 概 念 推 广 的 必 要 性 ,知 道 正 角 、负 角和零角的概念. 任 了解任意角 2.初 步 学 会 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 讨 论 任 意 角 ,并 能 熟 练 写 出 与 意 角 的概念和弧度制, 已知角终边相同的角的集合. 、 能进行弧度与角 弧 3.了 解 弧 度 也 是 一 种 度 量 角 的 单 位 ,能 够 进 行 弧 度 制 和 角 度 制 度 度的互化. 的互化. 4.能 运 用 角 度 制 和 弧 度 制 下 扇 形 的 弧 长 公 式 和 面 积 公 式 进 行 简 单的计算. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 数学必修 4·人教 A 版 / 4 内容标准 学习要求 (续 表 ) 1.理 解 利 用 单 位 圆 定 义 任 意 角 的 三 角 函 数 (正 弦 、余 弦 、正 切 )的 意 义 ,能 根 据 角 的 终 边 上 任 意 一 点 的 坐 标 求 出 这 个 角 的 正 弦 、余 弦 和 正 切 值 .熟 记 特 殊 角 的 正 弦 、余 弦 、正 切 值 . 1.借 助 单 位 圆 2.根据定义理解“终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 值 相 等”,并 利 理解任意角的三角 用这个结论,把求任意角的三角 函 数 值 转 化 为 求 0~2π 角 的 三 角 函 函数(正弦、余弦、正 数值. 切)的定义. 3.会 根 据 三 角 函 数 的 定 义 判 断 正 弦 、余 弦 、正 切 函 数 值 在 各 个 象 限的符号. 4.能 利 用 与 单 位 圆 有 关 的 有 向 线 段 将 任 意 角 的 正 弦 、余 弦 、正 切 函数值用几何形式表示. 1.利用单位圆的对称性和三角函数的定义探究 π±α,2π±α 的 三 正弦、余弦、正切与α 的相 应 三 角 函 数 之 间 的 关 系,揭 示 诱 导 公 式 的 角 本质. 函 数 2.能 利 用 诱 导 公 式 将 任 意 角 的 三 角 函 数 转 化 为 锐 角 的 三 角 函 2.借助单位圆 数,体现化归思想. 中的三角函数线推导 3.能 利 用 诱 导 公 式 进 行 简 单 三 角 函 数 式 的 求 值 、化 简 和 证 明 . 出诱导公式 æ ç è 2π±α, 4.通 过 实 例 直 观 感 知 正 弦 函 数 、余 弦 函 数 的 图 象 ,在 此 基 础 上 利 用 正 弦 线 作 出 正 弦 函 数 的 图 象 ,再 以 正 弦 函 数 的 图 象 为 基 础 ,利 用 诱 π±α的正弦、余弦、 导公式,通过图形变换得到余弦函数的图象.能用“五点法”作出简单 正切 ö÷ ø ,能 画 出 y= 函数的图象. 5.能 利 用 正 切 线 作 出 正 切 函 数 的 图 象 ,并 能 够 分 析 它 与 正 弦 函 sinx,y=cosx,y = 数、余弦函数图象的联系与区别. tanx 的图象,了解三 6.通 过 分 析 三 种 函 数 的 图 象 特 征 ,初 步 认 识 正 弦 函 数 、余 弦 函 数 角函数的周某某. 和正切函数是周期函数,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型, 并了解周期函数的有关概念. 7.会根据周期函数的定义,求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+ φ),y=Atan(ωx+φ)的函数的周期,通过观察周期与自变量的系 数 的 关 系 ,归 纳 得 出 公 式 . 第一章 三角函数 / 5 (续 表 ) 内容标准 学习要求 1.能根据图象感知函数y=sinx,y=cosx,y=tanx 的单调性,并 能写出它 们 的 单 调 区 间.会 求 形 如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+ 3.借 助 图 象 φ),y=Atan(ωx+φ)的 函 数 的 单 调 区 间.能 利 用 函 数 y=sinx,y= 理解正弦函数、余 cosx,y=tanx的单调性比较三角函数值的大小. 弦 函 数 在 [0,2π] 2.能借助y=sinx,y=cosx 的 图 象 得 出 其 最 大 值 和 最 小 值,会 上,正 切 函 数 在 求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的 函 数 的 最 大 值 和 最 æ ç è - π 2 ,π 2 ö ÷ ø 上 的 小值. 性 质 (如 单 调 性、 3.会求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ) 最大值和最小值、 的函数图象与x 轴的交点坐标. 图象与x 轴的交 4.了 解 正 弦 函 数 、余 弦 函 数 和 正 切 函 数 的 奇 偶 性 ,能 判 断 简 单 函 点 等 ). 数 的 奇 偶 性 ,能 利 用 奇 偶 性 的 概 念 解 决 简 单 问 题 . 5.利 用 函 数 图 象 的 直 观 性 ,通 过 观 察 图 象 获 得 对 函 数 性 质 的 认 4.理 解 同 角 三角函数的基本 识 ,强 化 数 形 结 合 的 思 想 ,这 是 1.经 历 由 三 角 函 数 的 定 义 研获究取数同学角问三题角的函常数用(si方nx法,c.osx,tanx) 两个基本关系式的过程. 关系式: 2.能利用基本 关 系 式 由 sinx,cosx,tanx 中 某 一 个 值 求 出 其 余 sin2x+cos2x=1, 两个值. 三 角 csionsxx=tanx. 函 3.会 利 用 基 本 关 系 式 证 明 简 单 的 三 角 恒 等 式 ,在 解 决 问 题 的 过 程中提炼基本方法. 数 5.结合具体实 例了解y=Asin(ωx +φ)的实际意义;能 借助计算器或计某某 1.能 用 “五 点 法 ”作 出 函 数 y=Asin(ωx+φ)的 简 图 . 2.会利用计算器或 计 算 机 分 别 作 出 y=Asinx 与y=sinx,y= sinωx 与y=sinx,y=sin(x+φ)与y=sinx 的 图 象,认 识 A,ω,φ 对 画 出y= Asin(ωx+φ)的图象, 函 数y=Asin(ωx+φ)的 sinx 的 图 象 经 过 图 象 变 过程. 图 换 象变化 得 到y 的 影 响,能 够 用 语 言 描 述 从 y= =Asin(ωx+φ)的 图 象 的 具 体 观察参数A,ω,φ 对 函数图象变化的 3.引 导 学 生 运 用 类 比 的 方 法 探 究 函 数 y=Acos(ωx+φ)的 图 影响. 象 ,研 究 图 象 变 换 的 规 律 和 用 “五 点 法 ”作 图 的 关 键 . 6.会 用 三 角 函数解决一些简 单 的 实 际 问 题 ,体 会三角函数是描 述周某某变化现 象的重要函数 模型. 1.根 据 学 生 的 生 活 经 验 ,创 设 丰 富 的 情 境 ,使 学 生 体 会 三 角 函 数 的模型作用. 2.能 从 周 期 性 变 化 的 实 际 问 题 中 建 立 与 三 角 函 数 有 关 的 数 学 模 型 ,并 能 利 用 数 学 模 型 解 决 实 际 问 题 (有 些 实 际 问 题 需 要 通 过 观 察 散 点 图 并 进 行 函 数 拟 合 而 建 立 具 体 的 函 数 模 型 ,进 而 应 用 它 解 决 实 际 问 题 ,体 现 数 学 知 识 的 价 值 ). 数学必修 4·人教 A 版 / 6 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 学法指导 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 三角函数是中学数学的重要内容之一,它 的 基 础 主 要 是 几 何 中 的 相 似 和 圆,它 的 研 究 方法主要是代数中的式子变形和图形分析,它 的 研 究 已 经 初 步 把 几 何 与 代 数 联 系 起 来 了. 高 等 数 学 、物 理 学 、天 文 学 、测 量 学 及 其 他 各 种 应 用 学 科 ,都 要 经 常 用 到 三 角 函 数 及 其 性 质 . 1.注 重 模 型 思 想 本 章 的 学 习 要 始 终 突 出 三 角 函 数 作 为 描 述 周 期 性 变 化 规 律 的 数 学 模 型 这 一 本 质 ,即 通 过现实世界的周期现象,在大家充分感受引﨩入﨩三﨩角﨩函﨩﨩 数﨩必﨩要﨩性﨩的﨩基﨩础﨩上﨩,﨩学 习 三 角 函 数 的 概 念 ,研 究 三 角 函 数 的 基 本 性 质 ,并 用 三 角 函 数 的 基 础 知 识 解 决 一 些 实 际 问 题 . 2.用 联 系 的 观 点 学 习 新 知 识 在 讨 论 三 角 函 数 及 其 性 质 时 ,大 家 要 注 意 用 《数 学 1》中 获 得 的 函 数 概 念 及 其 思 想 方 法 作指导,与自己在《数学1》中建 立 的 关 于 函 数 性 质 的 已 有 经 验 联 系 起 来,这 对 大 家 把 握 三 角 练 函数 掌握 基 其 本性 图象 质的 和性 讨论方向是非 质 (定 义 域 、值 常 域 有 、最用大的值.、正﨩最﨩弦小﨩、值余﨩、弦﨩周﨩、﨩﨩期正﨩﨩性切﨩﨩、函单﨩﨩数调﨩 﨩是﨩性﨩基﨩﨩、奇﨩本﨩偶的﨩性﨩三等﨩角)﨩函,从﨩数而﨩,要达﨩﨩熟到 﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩﨩 灵活应用的目的. 3.在 运 用 中 强 化 对 公 式 的 理 解 本 章 三 角 公 式 较 多 ,对 学 过 的 公 式 要 做 到 真 正 理 解 、记 准 、记 熟 、用 活 ;解 决 问 题 究 竟 使 用 哪 一 个 (或 哪 几 个 )公 式 ,要 抓 住 问 题 的 实 质 ,善 于 联 想 .在 熟 练 掌 握 概 念 、公 式 的 基 础 上 , 要 不 断 地 总 结 解 题 规 律 、变 形 的 方 法 与 技 巧 ,提﨩﨩高﨩综﨩合﨩解﨩答﨩问﨩题﨩的﨩能﨩力﨩 . 1.1 任意角和弧度制 第一学时 任意角 板块一 创设问题,引领目标 导 入 问 题 ,直 指 学 时 重 点 问题呈现 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 小 明 买 了 一 块 手 表 ,手 表 的 时 间 比 标 准时间快10分钟,应如何校准? 如果是慢 10分钟,又应如何校准? 还有我 们 熟 悉 的 体 操 运 动 员 旋 转 的 角度 、自 行 车 车 轮 旋 转 的 角 度 、螺 丝 扳 手 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 旋转的 角 度 等 等,应 该 怎 样 理 解 这 些 角 度? 挂在墙上 的 钟 表、戴 在 腕 上 的 手 表, 更是为我们展示了角的形象. 那么数学上是如何刻画角的呢? 将 要学习的知识与我们在小学和初中学习 的知识又有怎样的联系呢? 材料链接 1.我 们 在 初 中 和 小 学 学 过 有 关 角 的 定 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 第一章 三角函数 / 7 义:具有公共 端 点 的 两 条 射 线 组 成 的 图 形 叫 做 角 .这 个 公 共 端 点 叫 做 角 的 顶 点 ,这 两 条 射 线叫做角的两 条 边.一 个 角 可 以 看 作 平 面 内 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另 一个位置所形 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 高 点为(2,2 2),由 这 个 最 高 点 到 相 邻 最 低 点 时图象与x 轴交于点(6,0). (1)求 函 数 f(x)的 解 析 式 ; (2)求 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 . 再生新疑 通过本 学 时 的 学 习,大 家 要 体 会 由 简 单 到 复 杂 、由 特 殊 到 一 般 、由 具 体 到 抽 象 的 化 归 思 想 ,数 形 结 合 的 思 想 ,待 定 系 数 法 以 及 数 学 的应用价值等. 除 此 之 外 ,你 还 有 哪 些 疑 问 ? 12.如图所示为正弦函数f(x)=Asin(ωx+ φ)æèç|φ|< π 2 ö ÷ ø 在 一 个 周 期 内 的 图 象 . (1)写 出 f(x)的 解 析 式 ; (2)将 函 数 f(x)的 图 象 向 右 平 移 2 个 单 位长度后得到函 数 g(x)的 图 象,写 出 g(x) 的解某某; (3)指 出 g(x)的 周 期 、频 率 、振 幅 、初 相 . 对于不会利用机会的人而言,机会就像波浪般奔向茫茫的大海,或是成为不会孵化的蛋。 [文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

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