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z椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

椭 圆

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

若
在椭圆
上，则过
的椭圆的切线方程是
.

若
在椭圆
外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
.

椭圆
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点
，则椭圆的焦点角形的面积为
.

椭圆
（a＞b＞0）的焦半径公式：

,
(
,

).

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

AB是椭圆
的不平行于对称轴的弦，M
为AB的中点，则
，

即
。

若
在椭圆
内，则被Po所平分的中点弦的方程是
.

若
在椭圆
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
.

双曲线

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

以焦半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左某某）

若
在双曲线
（a＞0,b＞0）上，则过
的双曲线的切线方程是
.

若
在双曲线
（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
.

双曲线
（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点
，则双曲线的焦点角形的面积为
.

双曲线
（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(
,

当
在右支上时，
,
.

当
在左某某上时，
,

设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

AB是双曲线
（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M
为AB的中点，则
，即
。

若
在双曲线
（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
.

若
在双曲线
（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

椭圆
（a＞b＞o）的两个顶点为
,
，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
.

过椭圆
(a＞0, b＞0)上任某某
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且
（常数）.

若P为椭圆
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任某某,F1, F 2是焦点,
,
，则
.

设椭圆
（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记
,
,
，则有
.

若椭圆
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤
时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

P为椭圆
（a＞b 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 双曲线右焦点
的直线与双曲线相交于A、B两点,点
在右准线
上，且
轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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