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第十章 相交线、平行线与平移

相交线

1、对顶角：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的角叫对顶角。

对顶角性质：对顶角相等

图形

顶点

边的关系

大小关系



对顶角



∠1与∠2

有公共顶点



∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线

对顶角相等

即∠1=∠2





注意：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是 对顶角，则一定有∠α=∠β；反之如果∠α = ∠β，则∠α与∠β不一定是对顶角.

2、垂直：

（1）定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说明两条直线相互垂直。记作
；垂直的两条直线其中一条直线叫做另一条直线的垂线；它们的交点叫做垂足；连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段。符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O。

/

垂直定义有以下两层含义：

（1）∵∠AOC=90°（已知），∴AB⊥CD（垂直的定义）．

（2）∵AB⊥CD（已知）， ∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．

注：1）垂直是相交的一种特殊的情况；

2）两条线段垂直，垂足可能在线段上，也可能在延长线上。

（2）性质：

性质1：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离。

如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

/

注意：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

4、垂线的画法

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

垂线的画法（以线段外过一点做线段的垂线，垂足不在线段上为例）

用直角三角板画垂线，可简单地说成：“一落”、“二过”、“三画”、“四标”．

/

图1 图2 图3 图4

如图1，线段BC，过点A作线段BC的垂线，垂足为点D.

“一落”： 将三角板一条直角边紧贴已知直线上.

我们要过点A作线段BC的垂线，获得垂线段AD，可先用三角板的一条直角边与BC重合在一起，另一条直角边落在点A的同一侧；不盖某某A．(如图2)

“二过”： 使三角板的另一直角边经过已知点．

用铅笔尖点住A点，使三角板保持与BC重合，沿线段BC慢慢移动，到三角板的另一直角边刚好靠近点A(铅笔尖)时停下来。(如图3)

“三画”： 沿已知点所在直角边画直线．

按紧平移后的三角板，用铅笔从A点开始沿这条直角边画直线，很明显这条直线不与线段BC相交，于是我们只需把BC延长(或反向延长)与这条直线相交．(如图4)

“四标”：标出直角标号“┓”

由画出的延长线与作的直线相交而获得了垂足，我们可在交点处标上垂直符号“┓”，并标上字母符号“D“．(如图4)到此，垂线段AD便作出了．

平行线

1、定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。记作AB∥CD。

在同一平面内，两条直线的关系不是相交就是平行，没有其他。

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 直线就一定与已知直线平行.

平移

1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

关键：

a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。

b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。

2、平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。

注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

3、简单的平移作图：

整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。

平移作图要注意：①方向；②距离。

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