2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）

数学

一、单项选择题：.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则=（）

A. （-1，1） B. [-1，0] C. [-1，0） D. （-∞，0]

【答案】B

【解析】

【分析】

解指数不等式得集合，求函数值域得集合，再由补集、交集定义计算．

【详解】由题意，，

，

所以，

故选：B．

【点睛】本题考查集合的综合运算，考查指数函数与二次函数的性质．本题属于基础题．

2.设，则复平面内对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式、复数的几何意义即可求得.

【详解】解：因为，

所以，

所以，即

所以在复平面对应的点位于第四象限，

故选：D

【点睛】此题考查了复数的运算法则，共轭复数的定义，模的计算，复数的几何意义，考查了推理能力，属于基础题.

3.展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）

A. 120 B. -120 C. 60 D. -60

【答案】C

【解析】

【分析】

由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．

【详解】由题意，解得，

展开式通项公式为，令，，

所以常数项为．

故选：C．

【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数和问题，掌握二项展开式通项公式是解题关键．

4.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米·度），为室内外温度差，值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：

型号

每层玻璃厚度（单位：厘米）

玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）

型

0.4

型

0.3

型

0.5

型

0.4

则保温效果最好的双层玻璃的型号是（）

A. 型 B. 型 C. 型 D. 型

【答案】D

【解析】

【分析】

依题意可得，所以转化为求的最大值即可得到答案.

【详解】，固定，可知最大时，最小，保温效果最好，

对于型玻璃，，

经过比较可知，型玻璃保温效果最好.

故选：D.

【点睛】本题考查了函数的应用，考查了求函数的最值，属于基础题.

5.设函数，若，，，则，，的大小为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由于是偶函数，且在上为增函数，所以只需利用这些性质将变量转化到上即可比较出大小.

【详解】解：函数的定义域为，

因为，所以，

所以为偶函数，

所以，

因为，，

所以，

因为在上为增函数，

所以，所以，

故选：A

【点睛】此题考查函数的单调性，奇偶性，指数式和对数式比较大小，属于中档题.

6.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（）

A B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数，其中宫、羽不相邻的基本事件有，由此可求出所求概率.

【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数，

其中宫、羽不相邻的基本事件有，

则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为

，

故选：C

【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等知识，考查运算求解能力，属于基础题.

7.将函数图象向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法中正确的是（）

A. 的周期为 B. 是偶函数

C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增

【答案】D

【解析】

【分析】

首先利用三角恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，再利用图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，然后再利用正弦函数的性质对各选项进行判断，即可得到结果．

【详解】函数，

把函数图象向右平移个单位，

得到，

再把各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，

得到．

①故函数的最小正周期为，故选项A错误；

②函数，不为偶函数，故选项B错误；

③当时，，故选项C错误；

④由于，所以，

故函数单调递增，故选项D正确．

故选：D．

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

8.已知是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线交准线于，若的中点为，则=（）

A. 4 B. 8 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由的中点的坐标可得，两点的横坐标之和与纵坐标之和，设直线的方程与抛物线联立求出两根之和，进而可得的值.

【详解】解：因为的中点为，所以，

所以，

设直线的方程为，代入抛物线的方程得，，

所以

所以，解得，

故选：B

【点睛】此题考查抛物线的性质及中点坐标的应用，属于中档题.

二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.设向量，，则（）

A. B. C. D. 与的夹角为

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据平面向量的模、垂直、夹角公式坐标运算公式，和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.

【详解】因为，，所以，所以，故A错误；

因为，，所以，所以与不平行，故B错误；

又，故C正确；

又，所以与的夹角为，故D正确.

故选：CD.

【点睛】本题主要考查了平面向量的模、垂直、夹角公式坐标运算公式，和共线向量的坐标运算，属于基础题.

10.下列命题正确的是（）

A. 若随机变量，且，则

B. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为

C. 已知，则“”是“”的充分不必要条件

D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则

【答案】BD

【解析】

【分析】

对A，利用方差的公式；对B，根据偶函数的性质及函数的单调性；对C，根据集合间的关系判断；对D，根据回归直线经过样本点的中心.

【详解】对A，，，，，故A错误；

对B，函数是定义在上的偶函数，，，，故B正确；

对C，，“”推不出“”，而“”可以推出“”，“”是“”的必要不充分条件，故C错误；

对D，样本中心点为，，故D正确；

故选：BD.

【点睛】本题考查二项分布方差公式、充分条件与必要条件、抽象函数的奇偶性与单调性、回归直线与样本点的中心，考查运算求解能力.

11.设函数，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. 曲线存在对称轴 D. 曲线存在对称轴中心

【答案】ABC

【解析】

【分析】

分别研究函数和函数的性质，逐一分析选项，即可判断各个选项的真假.

【详解】解：A：，，，所以，当且仅当时，.故A正确.

B：等价于.

当时，设单调递增，

都是偶函数，

所以恒成立，所以恒成立，

，又，

所以.故B正确.

C：的图像关于对称，

关于对称，

所以曲线存在对称轴.故C正确.

D：若曲线存在对称中心，设对称中心为，

所以，令，

令则，

即只有时成立，从而为整数，，

令，不一定成立，

故D不正确.

故选：ABC.

【点睛】本题考查利用函数的解析式研究函数的性质，考查三角函数性质的应用，考查利用放缩的思想比较大小，属于中档题.

12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（）

A. 三棱锥的体积为定值

B. 当向运动时，二面角逐渐变小

C. 在平面内的射影长为

D. 当与重合时，异面直线与所成的角为

【答案】AC

【解析】

【分析】

对选项分别作图，研究计算可得.

【详解】

选项A:连接,由正方体性质知是矩形，

连接交于点

由正方体性质知平面,

所以，是点到平面的距离，即

是定值.

选项B:

连接与交于点，连接，

由正方体性质知,是中点，

,又,

的大小即为与所成的角，

在直角三角形中，为定值.

选项C:

如图，作

在直角三角形中，

选项D:

当与重合时，与重合，连接与交于点，连接,

异面直线与所成的角,即为异面直线与所成的角,

在三角形中，,

由余弦定理得

故选：AC

【点睛】本题考查空间几何体性质问题.

求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．　

求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台某某等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.

三、填空题：

13.若，，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用基本不等式求得的最小值，由此可得出实数的取值范围.

【详解】，，则，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以，，因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用不等式恒成立求参数，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题.

14.已知，则=________.

【答案】

【解析】

【分析】

用诱导公式求得，再由二倍角的余弦公式计算．

【详解】，

所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查诱导公式，考查余弦的二倍角公式，解题关键是利用角的变换选择相应的公式计算．

15.已知双曲线：的左焦点为，为虚轴的一端点，若以为圆心的圆与的一条渐近线相切于点，且，，三点共线，则该双曲线的离心率为________.

【答案】

【解析】

【分析】

求出的坐标和双曲线的一条渐近线房后方程，利用点到直线的距离公式可得，在直角三角形中，运用射影定理以及的关系和离心率公式，解方程可得所求值.

【详解】

由题意可得，，

双曲线的一条渐近线方程为，

可得，，

在直角三角形中，可得：，

化为，

由，

可得，

由，可得，

解得，由，

所以，解得.

故答案为：

【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.

16.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一-号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活，当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，并随机抽取了该校100名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到如下饼图：

若从日行步数超过10千步的教职工中随机抽取两人，则这两人的日行步数恰好一人在10~12千步，另一人在12~14千步的概率是________；设抽出的这两名教职工中日行步数超过12千步的人数为随机变量，则=________.

【答案】 (1). (2).

【解析】

【分析】

根据已知求出10~12千步和12~14千步的人数，然后再由概率公式计算，的可能取值为0，1，2，求出各个概率后由期望公式计算可得期望．

【详解】由已知10~12千步的人数为，12~14千步的人数为，

因此任取2人，一人在10~12千步，另一人在12~14千步的概率是，

的可能取值为0，1，2，

，，，

所以．

故答案为：；．

【点睛】本题考查古典概型，考查随机变量分布列与期望，确定随机变量的所有可能值，求出各个概率是计算期望的关键．

四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.中的内角，，所对的边分别为，，，设.

（1）求；

（2）若，的外接圆半径为2，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理边化角以及两角差的正弦公式可得，再根据角的范围，可得结果；

（2）根据正弦定理求出，根据余弦定理求出，根据三角形的面积公式可求得结果.

【详解】（1）∵

∴由正弦定理可得，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，

∴，∴.

（2）设的外接圆半径为，则，

∴由正弦定理得，

∴，

由余弦定理得，

∴，得.

∴的面积为.

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，属于基础题.

18.在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前项某某，满足________，________；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列.

（1）求和的通项公式；

（2）证明：.

【答案】（1）选法见解析，，；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）若选择①②

先由，当≥2时，，两式相减整理得，再求出，进而说明数列是等比数列，求出，设正项等差数列的公差为，由已知条件求出，进而求得；

若选择②③

先由，当≥2时，，两式相减整理得，再求出，进而说明数列是等比数列，求出，设正项等差数列的公差为，由已知条件求出，进而求得；

（2）由（1）求得，再求，即可证明结论.

【详解】（1）解法一：选择①②

当时，由得

，

两式相减，得，即，

由①得，即，

∴，得，

∴，∴为，公比为的等比数列，

∴.

设等差数列的公差为，，且，，成等比数列.

，即，

解得，（舍去），∴

解法二：选择②③

当时，由③，

得，

两式相减，得，∴，

又，得，

∴，∴为，公比为的等比数列，

∴.

（以下同法一）

（2）证明：由（1）得

则

【点睛】此题考查等差、等比数列通项公式及前项和的求法，属于基础题.

19.如图①，在中，为直角，，，，沿将折起，使，得到如图②的几何体，点在线段上.

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由余弦定理得出，进而得出；由平面，得出；从而得到平面，即可证明平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：在中，

∵，，，

由余弦定理得，

∴，

∴，∴，即，

又，，，

∴平面，平面

∴，

又，平面∴平面

又平面，∴平面平面

（2）解法一：

如图，以为原点，以为轴，为轴，过点垂直于某某的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

∴，，

连结与交于点，连结，

∵平面，为平面与平面的交线，

∴，∴，

在四边形中，∵，∴，

∴，，∴，

设，则，

由，得，∴，∴

设平面的法向量为，

则，取，则，，

∴，

设直线与平面所成角为，则.

即直线与平面所成角的正弦值为.

（2）解法二：

如图，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

∴，，

连结，与交于点，连结，

∵平面，为平面与平面的交线，

∴，∴，

在四边形中，∴，∴，

∴，，，

设，则，

由得：解得，∴，

∴.

设平面的法向量，

则，取，则，，

∴，

设直线与平面所成角为，则.

∴直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本题主要考查面面垂直的证明和线面角的求法，属于中档题.

20.为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如下表1：

表1

愿意使用新能源租赁汽车

不愿意使用新能源租赁汽车

总计

男性

100

300

女性

400

总计

400

其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费.已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20~60分钟之间，由于堵车红绿灯等因素，每次的用车时间（分钟）是一个随机变量.张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如下表2：

表2

时间（分钟）

（20，30]

（30，40]

（40，50]

（50，60]

频数

（1）请补填表1中的空缺数据，并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；

（2）根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间；

（3）若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费27元，试问：张先生上班使用滴滴打车和租用该款汽车，哪一种更合算?

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

【答案】（1）表格见解析，有99.5%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；（2）38（分钟）；（3）用该款新能源汽车上班更加合算.

【解析】

【分析】

（1）补充完整的列联表，再利用卡方系数计算的观测值，与7.879进行比较大小，即可得到答案；

（2）根据组距的中点值乘以各自的频率，再相加，即可得到平均值；

（3）设内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。以及最值，运用单调性计算可求出的范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

，

所以当即时，，在上单调递增；

当，即或时，

方程的根为，.

当时，有，，在上单调递增；

当时，有.

增

减

增

综上：当时，在上单调递增，

当时，在，上单调递增，

在上单调递减.

（2）设函数的图象上点与函数的图象上点处切线相同，

则，

即，

由得 ①

由，

得 ②

由①②得：，

设

问题转化为在有解，

则，

不妨设，

则当时，，当时，，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴是的最小值.

只需，即 ③

而，故代入③式，得

，

令，易得，

，则在递增.

故解集是（0，1]，即.

由，得.

即实数的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，考查函数的构造，考查参数分离方法求参数的范围，考查学生化简整理的运算能力和推理能力，属于难题.

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