3.4 生活中的优化问题举例-**_*数学选修1-1教学设计
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第三章 导数及其应用
3.4 生活中的优化问题举例
一、内容及其解析：
本节课要学的内容“生活中的优化问题举例”指的是如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高、增长率、膨胀率等，主要在效率、利润、最大容量三个方面举例说明，其关键是应用导数解决生活中的优化问题，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力。学生学生较为熟悉的是线性规划问题，二次函数最值问题，或结合函数图象解决最值，本节课是要用导数的方法来研究函数的性质，是对函数研究的深化与提升。本节内容是导数知识的应用问题，所以数学建模，用导数求函数的单调性、最值，导数的意义是学生学习的必备知识。
二、目标及其解析
目标定位：初步了解生活中常遇到的“效率最高”，“容量最大”，“利润最大”问题的解决方案；培养学生解决数学问题时的优化思想。
目标解析：解决优化问题的思路是: 第一步将优化问题转化为用函数表示的数学问题, 第二步是应用导数这个工具解决数学问题, 进而得到优化问题的答案。
三、问题诊断分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是数学建模问题，产生这一问题的原因是学生的“用导数求函数最值”知识未扎实。在教学中要逐步培养起学生的分析能力, 能够把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解。对这样的优化问题, 学生可能要有一定的时间去理解、消化。
四、教学支持条件分析
在本节课极值概念的教学中，准备使用多媒体。因为使用多媒体，有利于图像清晰准确，便于学生理解极值的概念。
五、教学过程设计
第一课时
自学
问题：你能用数学知识解决哪些生活中的优化问题？
请先解决下列两个问题;
（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.
（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。
设计意图：两题是姊妹题，以求解问题过程，作为知识掌握程度的检测。
师生活动：学生先思考，教师再讲解
互学、导学
例1、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为
。
求导数，得
。
令，解得舍去）。
于是宽为。
当时，0.
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
例2、饮料瓶大小对***利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，***的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
设计意图：这样的设计，使题意更明确，也降低了学生建模难度，把重点放到了对函数关系式的分析上，使学生体会到数学知识的实用性。
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是
令 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 x.
所以总利润为P＝R－C
＝
∴P′＝
令P′＝0，得x＝300，
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