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数学建模方法与案例

第一部分 数学建模方法介绍

一、数学建模过程

1.提出问题

对一个具体的问题，尽可能用数学语言加以提炼和刻画。

2.识别问题

对问题进行必要的分析，判定该问题所属类别：概率统计模型；微分方程模型；优化模型等等（很多时候问题是交叉的）。

3.提出假设

在建模过程中，对模型做出基本假设，是建模的一个重要过程！它反映了作者对问题的理解。

建模

将问题提炼成一个完整的数学表达式！

5.求解并解释模型

用适当的数学工具对所得到的数学模型进行求解（强调：能用简单方法进行求解则不要用高级方法求解），并对结果做数学上的分析。

6.模型检验

将模型应用于已知问题并对问题做出解释。

7.修改模型

对模型检验中所出现的问题做进一步的分析并修改已有模型使之更完善。

8.模型应用

将所得到的模型具体应用到生产管理中以发挥相应的作用。

二、数学建模方法

1.演绎法

根据对模型的认识，用数学方法进行逻辑上的分析以期寻找其中的相关关系，从而建立对应的模型并用一定的数学方法进行求解。

微分方程模型，优化模型基本属于该范畴。

2.测试分析法

测试分析法往往将研究对象视为“黑洞”系统，通过对已有的数据做统计分析，寻找内部特征再建立相应的模型并加以求解.

概率统计模型、回归模型基本属于该范畴。

三、处理实际问题的建模过程

1.根据问题，大致确定该模型的类别；

2.对于较专业的问题，要比较深入探讨问题的背景，尽可能搞清楚问题的本质；

3.对问题的数据做仔细的分析，寻找数据中的相关关系；

4.做基本的假设;

5.遵循从简到烦的原则，先处理简单问题，然后逐步细化和深入；

6.认真写好摘要，在摘要中体现作者的基本想法，处理问题的过程和主要结果，摘要一定要符合规范；

7.撰写建模论文，注意时间节点的控制。

第二部分 数学建模案例分析

模型1 蠓虫分类

问题背景 两种蠓虫
和
已由生物学家W.L.Grogon和W.W.Wirth（1981）根据它们的触角长度、翅膀长度加以区分. 现测得
只
和
只
的触长、翅膀长的数据如下：















































 问题：⑴如何根据以上数据，制定一种方法正确区分两种蠓虫？

⑵将你的方法用于触长、翅长分别为
的
个样本进行识别。

如何考虑？

该问题属于统计模型范畴！（属于黑洞问题）

1.首先对已有数据进行分析.（测试）

画出相应的散点图

什么启发？

从图中可以看出，两类蠓虫有明显的差别.问题是该如何识别。

方法1 用最小二乘法得到回归线：

结果不理想。

方法2 用斜率的平均值构造直线

结果？

图中不同类别的蠓虫的区别还是比较明显的。

如何做进一步的识别？

用此方法对给定的三个蠓虫进行识别，若点在直线的上方，则判定为Apf，否则定为Af。

由此建立识别函数dist.m. 对给定的样本进行识别，如果样本点在直线上方，则将该蠓虫识别为Apf（标示为1）,否则识别为Af（标示为0）.

程序如下：

clear,clc

Apf1=[1.14,1.18,1.20 1.26 1.28 1.30];

Apf2=[1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96];

Af1=[1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56];

Af2=[1.72 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08];

x=[Apf1,Af1];y=[Apf2,Af2];

n=length(x);

k=sum(y./x)/n;

A=[1.24,1.80;1.28,1.84;1.40,2.04];

n=size(A,1);p=[];

for i=1:n

d=A(i,2)-k*A(i,1);

if d>0

p=[p,1];

else

p=[p,0];

end

end

disp(p)

结果为

1 1 1

即：三个新样本的判结.定果均为Apf！

这样的判定是否有效？（模型解释）

为解释判别法的有效性，引入交叉误判率。

交叉误判率

交叉误判率是每次剔除一个样品，利用其余的训练样本建立判别准则，根据建立的判别准则对删除的样品进行判定，以其误判的比例作为误判率. 具体过程如下：

①从总体为
的训练样本开始，剔除其中每一个样品，剩余的
个样品与
中的全部样品建立判别函数；

②用建立的判别函数对剔除的样品进行判别；

③重复上述步骤，直到
中的全部样品依次被剔除、判别，其误判的总数记为
；

④对
的样品重复步骤①②③，直到
中的样品全部被剔除、判别，其误判的个数记为

交叉误判率的估计值为

程序为：

clear,clc

Apf1=[1.14,1.18,1.20 1.26 1.28 1.30];

Apf2=[1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96];

Af1=[1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56];

Af2=[1.72 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08];

x=[Apf1,Af1];y=[Apf2,Af2];

m1=length(Apf1);m2=length(Af1);

n=length(x);

k=sum(y./x)/n;

A=[x',y'];p1=[];p2=[];

for i=1:m1

b=A(i,:);B=A;B(i,:)=[];

b1=B(:,1);b2=B(:,2);k=sum(b2./b1)/(n-1);

d=b(2)-k*b(1);

if d>0

p1=[p1,1];

else

p1=[p1,0];

end

end

for i=m1+1:n

b=A(i,:);B=A;B(i,:)=[];

b1=B(:,1);b2=B(:,2);k=sum(b2./b1)/(n-1);

d=b(2)-k*b(1);

if d>0

p2=[p2,1];

else

p2=[p2,0];

end

end

disp(p1),disp(p2)

结果为

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

结论： 在这样的判定法则下，交叉误判率为零，说明方法还是有效的。

模型2 饮酒驾车问题

一、问题背景

据报道，2003年全国道路交通死亡人数为1 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 依据要正确，表述要简明

5.模型求解

⑴给出算法原理和选择的依据；

⑵命题和定理的叙述要符合数学表现规范；

⑶可能的话，比较详细列出算法步骤及实现的方法；

⑷计算的最终结果应该在论文中突出地表达出来.

6.结果的分析与检验、模型的应用

⑴对要求回答的问题，必须明确回答数值的结果和结论

⑵对几套计算方案得到的结果加以比较，选择好的计算方案；

⑶对数值结果做必要的检验；

⑷对应结果不正确、不合理、误差较大的情况，必须分析原因，并对算法及模型进行修正.

7.模型评价、特点和优缺点，改进方法与推广

⑴突出优点，不回避确定；

⑵需要时完成补充部分；

⑶不提倡标新立异.

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