同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-复习笔记-第一章 函数与极限【圣才出品】
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第一章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数
1．映射
（1）映射概念
f
f
设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 ，使得对 X 中每个元素 x，按法则 ，
f
在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，则称 为从 X 到 Y 的映射，记作
，
f
f (x)
其中 y 称为元素 x（在映射 下）的像，并记作
，即
，而元素 x 称
f
f
为元素 y（在映射 下）的一个原某某；集合 X 称为映射 的定义域，记作
，即
R
f
f (x)
；X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，记作
或
，即
f
．
（2）映射三要素
f (X )
f
包括：①定义域
（3）映射的特点
；②值域
；③对应法则 ．
对每个 x∈X，元素 x 的像 y 是唯一的；而对每个
是唯一的．
（4）满射
，元素 y 的原某某不一定
设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射，若 R Y ，即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的
f
像，则称 f 为 X 到 Y 上的满射．
（5）单某某
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f
若对 X 中任意两个不同元素
，它们的像
，则称 为
X 到 Y 的单某某．
（6）一一映射（双射）
f
f 既是单某某，又是满射，则称 为一一映射（或双射）．
（7）逆映射与复合映射
①逆映射
f
设 是 X 到 Y 的单某某，则由定义，对每个
，有唯一的 x∈X，适合
，对每个
f (x) ? y
R
．则可定义一个从
到 X 的新映射 g，即
，
f
g(y) ? x
f (x) ? y
规定
，则 x 满足
．这个映射 g 称为 f 的逆映射，记作
，其定义域
，值域
．
注：只有单某某才存在逆映射．
②复合映射
设有两个映射
，其中
，则由映
射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x∈X 映成 f[g(x)]∈Z．显然，这
个对应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射，这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射，记作
，即
③复合映射的条件
在两个映射
组成的复合映射中，g 的值域 R 必须包含
g
在 f 的定义域内，即
2．函数
．
（1）函数的概念
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①函数的定义
f
设数集 D ? R，则称映射 ：D→R 为定义在 D 上的函数，简记为
，其中 x 称为自变量，y 称为因变量．D 称为定义域，记作
，即
．
②函数值域
R
f (D)
函数值 f(x)的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作
或
，即
f
③相同函数所具备的的特点
a．定义域相同；
b．对应法则也相同．
④函数的表示方法
表格法、图形法、解析法（公式法）．
（2）函数的性质
①有界性
f (x) ? K
f (x)
f (x)
x?I
a．上界：若存在 K ，对任意
有
有
，则称函数
，则称函数
在Ｉ上有上界，而
在Ｉ上有下界，而
1
1
f (x)
K 称为函数
在Ｉ上的一个上界．
1
f (x) ? K
x?I
b．下界：若存在 K ，对任意
2
2
f (x)
K 称为函数
在Ｉ上的一个下界．
2
f (x) ? M
f (x)
x?I
c．有界：若对任意
②单调性
，存在 M＞0，总有
，则称
在 I 上有界．
x ? x
f (x ) ? f (x )
a．单调递增 当
b 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 g 的值域 R 必须包含于函数 f 的定义
g
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域 D ，即
.
f
（4）函数的运算
设函数 f(x)，g(x)的定义域依次为
义这两个函数的下列运算
，则可以定
（5）初等函数
①5 类基本初等函数
②初等函数定义
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用
一个式子表示的函数，称为初等函数．
二、数列的极限
1．数列极限的定义
（1）数列的概念
n? N
x
n
x
n
如果按照某一法则，对每个
，对应着一个确定的实数 ，这些实数 按照下
?
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