解直角三角形教案
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第25章 解直角三角形
学 科
数 学
年 级
初 三
主备课人
主讲人
课 型
新 授 课
课 题
§25.1测量
课 时
第一课时
教
学
目
的
知识与技能：
（1）根据实际情况，灵活应用相似三角形知识进行物体高度的测量与计算。
（2）了解本章要探究的内容及探究的目的。
过程与方法：
通过对实际情况的具体分析，采用不同而切实可行的方式利用相似三角形知识进行物体高度的测量与计算，同时发现有必要探究直角三角形中各元素之间的关系，从而了解本章要探究的内容。
情感、态度与价值观：
再次感受相似三角形知识在测量中有广泛应用的同时，体验数学的发展是生产生活实践的需要，增强学习数学的自觉性。
教学重点难点
重点：利用相似三角形的特征和识别方法1,通过测量与绘图，计算物体的高度
难点：对于相似三角形的特征和识别方法1，测量与绘图，计算物体高度的方法的理解与运用
教学方法
探究法
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
一．问题引入
1．测量操场旗杆有多高？
如图25.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度．
2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．
二．试一试
如图25.1.2所示，站在离旗杆BE底部10米某某的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。）
实际上，我们利用图25.1.2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容．
三．归纳小结：
两种测量的方法：
方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长；
方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。
四．课堂练习
1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高某某1.5米，这样便可知道旗杆的高。
你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。
2请你与你的同学一起设计两 种方案，测量你们学校楼房的高 度。
教师
增补
作业布置
课后作业 P87（习题25..1）
教学
反思
学 科
数 学
年 级
初 三
主备课人
主讲人
课 型
新 授 课
课 题
§25.2锐角三角函数
课 时
第一课时
教
学
目
的
1．了解锐角三角函数的定义；
2．初步掌握三角函数的性质；
3．知道几种特殊角的三角函数值；
4．掌握定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于300湥敲此缘闹苯潜叩扔谛北叩囊话搿?/p>
教学重点难点
【教学重点】掌握几种特殊角的三角函数值和定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于300湥敲此缘闹苯潜叩扔谛北叩囊话?rdquo;。
【教学难点】掌握三角函数的性质
教学方法
探究法
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
一．复习引入
1．已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，问两个三角形的三组边是否成比例？
2．观察图25.2.1中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3中，
＝__________=__________
＝__________=__________
结论：当Rt△ABC中，∠A的大小不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值）。
二．讲述新课
1．三角函数
对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的.因此这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin A、cos A、tan A、cot A，即
sin A=, cos A=,
tan A=, cot A=
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.
锐角三角函数的特征与性质：
（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A＜1，0＜cos A＜1
（2）tan A?cot A=1
（3）若∠A＋∠B＝90°，则sin A ＝cos B、cos A＝sin B、tan A ＝cot B、cot A ＝tan B。
（4）补充：，（视情况定）
（5）补充：已知锐角∠A，则（视情况定）
3．例题讲解
求出图25.2.3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.
解
sin A= cos A=
tan A= cot A=
4．探索：sin300湥剑?/p>
5．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于300湥敲此缘闹苯潜叩扔谛北叩囊话?
6．做一做：请填出空白处的值
三．课堂练习
P91（练习）：1～4
教师
增补
作业布置
P93（习题25.2）：1～3
教学反思
学 科
数 学
年 级
初 三
主备课人
主讲人
课 型
新授课
课 题
§25.2.锐角三角函数
课 时
第二课时
教
学
目
的
知识与技能：
（1）会用计算器求已知锐角的三角函数值。
（2）能由锐角的三角函数值，利用计算器求出对应的锐角。
过程与方法：
通过阅读、交流、操作、掌握用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求锐角的步骤、方法和技能。
情感态度和价值观：
积极参加看书自学、合作交流、实际操作等活动，培养自学能力、动手能力和合作精神。
教学重点难点
重点：会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角
难点：熟练使用计算器解决锐角三角函数问题
教学方法
探究法
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
一．讲述新课
1．如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.
求已知锐角的三角函数值.
求sin630?2′41″的值.（精确到0.0001）
解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897 859 012.
所以 sin630?2′41″≈0.8979
例3 求cot700?5′的值.（精确到0.0001）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349 215 633.
所以 cot700?5′≈0.3492.
由锐角三角函数值求锐角
例4 已知tan x=0.7410,求锐角x.（精确到1′）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为36.538 445 77.
再按键：显示结果为360?2′18.4.
所以，x≈360?2′.
已知cot x=0.1950,求锐角x.（精确到1′）
分析 根据tan x＝，可以求出tan x的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值.
二．课堂练习
P93（练习）：1～2
教师
增补
作业布置
P93（习题25.2）：4～5
教 学
反 思
学 科
数 学
年 级
初 三
主备课人
主讲人
课 型
新授课
课 题
§25.3解直角三角形
课 时
第一课时
教
学
目
的
知识与技能：
（1）了解解直角三角形的意义。
（2）会根据直角三角形中已知元素，正确应用勾股定理，锐角三角函数求其他未知元素。
过程与方法：
从利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题的过程中，归纳出解直角三角形的意义、类型和相应的解法。
情感态度和价值观：
通过对解决问题的反思，获得解决问题的经验和获得新的数学知识的方法，体会数学活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。
教学重点难点
重点：解直角三角形的意义的归纳与理解
难点：应用锐角三角函数解决实际问题
教学方法
探究法
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
一．复习提问
复述勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
锐角三角函数的定义：sin A=, cos A=,
tan A=, cot A= 。
锐角三角函数的特征与性质：
（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A＜1，0＜cos A＜1
（2）tan A?cot A=1
（3）若∠A＋∠B＝90°，则sin A ＝cos B、cos A＝sin B、tan A ＝cot B、cot A ＝tan B。
（4）补充：，（视情况定）
（5）补充：已知锐角∠A，则（视情况定）
二．讲述新课
1．解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边某某5个元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2．例题讲解
例1（P98习题25.2：1（1）） 在Rt△ABC中，∠C＝900湥阎?，，解直角三角形。
分析：先根据条件画出三角形，可由勾股定理求出c，再由三角函数求锐角的度数。
[答案：，∠A＝60°，∠B＝30°]
例2（P93例1） 如图25.3.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米某某折断倒下，树顶落在离树根24米某某.大树在折断之前高某某？
分析： 利用勾股定理求出折断倒下部分的长度，再求大树在折断前的高度。
[答案：36米]
三．归纳：
1．解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
2．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
四．课堂练习
1．P98（习题25.3）： 1 （2）
2．P95（练习）：1
教师
增补
教师
增补
作业布置
P98（习题25.3）： 1 （3）～（4）【改为“解这个直角三角形” 】
教学
反思
学 科
数 学
年 级
初 三
主备课人
主讲人
课 型
新授课
课 题
§25.3解直角三角形
课 时
第二课时
教
学
目
的
1．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题；
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
教学重点难点
【教学重点】会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
教学方法
探究法
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
一．复习提问
1．解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边某某5个元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2．解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
3．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。
二．例题讲解
例2 如图25.3.2，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东400湹姆较颍谔XXXXX测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
分析：分析题目所给条件，找出未知量与已知量间的关系。计算方法不止一种，可选择适当的方法。
解： 在Rt△ABC中，
∠CAB＝900湥?ang;DAC＝500湥?/p>
＝tan∠CAB,
∴BC＝AB?tan∠CAB=2000×tan500?asymp;2384(米).
又∵ ，
∴AC＝
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米。
三．课堂练习
1．P95（练习）：2
教师
增补
作业布置
P98（习题25.3）：2
教 学
反 思
学 科
数 学
年 级
初 三
主备课人
主讲人
课 型
新授课
课 题
§25.3解直角三角形
课 时
第三课时
教
学
目
的
1．会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题；
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
教学重点难点
【教学重点】会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
教学方法
探究法
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
一．新知识点提
读一读
如图25.3.3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
二．例题讲解
例3 如图25.3.4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
解 在Rt△BDE中，
BE＝DE×tan a
＝AC×tan a
＝22.7×tan 22°
≈9.17，
所以 AB＝BE＋AE
＝BE＋CD
＝9.17＋1.20≈10.4（米）．
答： 电线杆的高度约为10.4米．
[注意：]当题目中要求取近似值时，计算过程应比题目要求多取一位近似值。
如该例题中要求精确到0.1米，则在计算过程中应先精确到0.01米。
三．课堂练习
P96（练习）：1、2
教师
增补
作业布置
P98（习题25.3）：3
教 学
反 思
学 科
数 学
年 级
初 三
主备课人
主讲人
课 型
新授课
课 题
§19.4.4 解直角三角形
课 时
第四课时
教
学
目
的
1．会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题；
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
教学重点难点
【教学重点】会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
教学方法
探究法
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
一．新知识点提
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图25.3.5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝=tan a
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
二．例题讲解
例4 如图25.3.6，一段路基的横断面是梯形，高某某4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到
0.1米）
解 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4.2（米），
CD＝EF＝12.51（米）．
在Rt△ADE中，∵
∴
在Rt△BCF中，同理可得
∴ AB＝AE＋EF＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．
答： 路基下底的宽约为27.13米．
三．课堂练习
1．P98（练习）
教师
增补
作 业布 置
P98（习题25.3）：4
教 学
反 思
学 科
数 学
年 级
初 三
主备课人
主讲人
课 型
复习课
课 题
小结与复习1
课 时
第一课时
教 学
目 的
复习本章知识结构；
巩固勾股定理、三角函数和解直角三角形的相关知识
教学
重点
难点
重点：勾股定理、锐角三角函数和解直角三角形的应用
难点：选择适当的方法解决具体问题
教学
方法
讲练结合法
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
情境导入
通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？
二、课前热身
同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。
三、合作探究知识结构
概括
1. 了解勾股定理 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 5 cm，求直角边AC和斜边AB的长．
8. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC是直角边BC的2倍，求∠B的四个三角函数值．
9. 如图，在直角坐标平面中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是，求：
（1） y的值； （2） 角a的正弦值．
12. 一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？
13. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角a和坝底宽AD．（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号）
14. 如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）
四、学习小结
教师
增补
作业
布置
P102复习题：11—16
教 学
反 思
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