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直线与圆的方程

一、直线的方程

1、倾斜角：

L

，围0≤
＜
，

若
轴或与
轴重合时，
=00。

2、斜率： k=tan

与
的关系：
=0

=0

已知L上两点P1（x1,y1） 0＜
＜

P2（x2,y2）
=
不存在

k=

当
=
时，
=900，
不存在。当
时，
=arctank，
＜0时，
=
+arctank

3、截距（略）曲线过原点
横纵截距都为0。

4、直线方程的几种形式

已知

方程

说明

几种特殊位置的直线



斜截式

K、b

Y=kx+b

不含y轴和行平于y轴的直线

①x轴：y=0



点斜式

P1=(x1,y1)

k

y-y1=k(x-x1)

不含y轴和平行于y轴的直线

②y轴：x=0



两点式

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)



不含坐标辆和平行于坐标轴的直线

③平行于x轴：y=b



截距式

a、b



不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线

④平行于y轴：x=a

⑤过原点：y=kx



一般式



Ax+by+c=0

A、B不同时为0





两个重要结论：①平面任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。

②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k为参数y-y0=k（x-x0）

特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含y轴）

（2）平行直线系：①y=kx+b，k为定值，b为参数。

②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系

③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系

（3）过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含L2）

6、三点共线的判定：①
，②KAB=KBC，

③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

二、两直线的位置关系

1、

L1：y=k1x+b1

L2：y=k2x+b2

L1：A1X+B1Y+C1=0

L2：A2X+B2Y+C2=0

L1与L2组成的方程组



平行

K1=k2且b1≠b2



无解



重合

K1=k2且b1=b2



有无数多解



相交

K1≠k2



有唯一解



垂直

K1·k2=-1

A1A2+B1B2=0





（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）

2、L1?到L2的角为0，则
（
）

3、夹角：

4、点到直线距离：
（已知点（p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0）

①两行平线间距离：L1=AX+BY+C1=0 L2：AX+BY+C2=0

②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±

③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是

5、对称：（1）点关于点对称：p(x1,y1)关于M（x0,y0）的对称

（2）点关于线的对称：设p(a、b)

对称轴

对称点

对称轴

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由圆心距进行判断、相交、相离（外离、含）、相切（外切、切）

6、圆系

①同心圆系：
，（a、b为常数，r为参数）

或：
（D、E为常数，F为参数）

②圆心在x轴：

③圆心在y轴：

④过原点的圆系方程

⑤过两圆
和

的交点的圆系方程为

（不含C2），其中入为参数

若C1与C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。

类型一：圆的方程

例1 求过两点
、
且圆心在直线
上的圆的标准方程并判断点
与圆的关系．

例2 求半径为4，与圆
相切，且和直线
相切的圆的方程．

例3 求经过点
，且与直线
和
都相切的圆的方程．

例4、 设圆满足：(1)截
轴所得弦长为2；(2)被
轴分成两段弧，其弧长的比为
，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线
的距离最小的圆的方程．

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5　已知圆
，求过点
与圆
相切的切线．

例6 两圆
与
相交于
、
两点，求它们的公共弦
所在直线的方程．

例7、过圆
外一点
，作这个圆的两条切线
、
，切点分别是
、
，求直线
的方程。

例8、求直线
被圆
截得的弦
的长.

例9、直线
截圆
得的劣弧所对的圆心角为

例10、求两圆
和
的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系

例11、已知直线
和圆
，判断此直线与已知圆的位置关系.

例12、若直线
与曲线
有且只有一个公共点，数
的取值围.

例13 圆
上到直线
的距离为1的点有几个？

例14、判断圆
与圆
的位置关系，

例15：圆
和圆
的公切线共有条。

类型六：圆中的对称问题

例16、圆
关于直线
对称的圆的方程是

例17　自点
发出的光线
射到
轴上，被
轴反射，反射光线所在的直线与圆
相切

（1）求光线
和反射光线所在的直线方程．

（2）光线自
到切点所经过的路程．

类型七：圆中的最值问题

例18：圆
上的点到直线
的最大距离与最小距离的差是

例19　(1)已知圆
，
为圆
上的动点，求
的最大、最小值．

(2)已知圆
，
为圆上任一点．求
的最大、最小值，求
的最大、最小值．

例20：已知
，
，点
在圆
上运动，则
的最小值是.

类型八：轨迹问题

例21、基础训练：已知点
与两个定点
，
的距离的比为
，求点
的轨迹方程.

例22、已知线段
的端点
的坐标是（4，3），端点
在圆
上运动，求线段
的中点
的轨迹方程.

例23 如图所示，已知圆
与
轴的正方向交于
点，点
在直线
上运动，过
做圆
的切线，切点为
，求
垂心
的轨迹．

类型九：圆的综合应用

例24、 已知圆
与直线
相交于
、
两点，
为原点，且
，数
的值．

例25、已知对于圆
上任一点
，不等式
恒成立，数
的取值围．

例26 有一种大型商品，
、
两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离
地的运费是
地的运费的3倍．已知
、
两地距离为10公里，顾客选择
地或
地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求
、
两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线、曲线外的居民应如何选择购货地点．

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