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直线与圆的方程

一、直线的方程

1、倾斜角：

L

，围0≤
＜
，

若
轴或与
轴重合时，
=00。

2、斜率： k=tan

与
的关系：
=0

=0

已知L上两点P1（x1,y1） 0＜
＜

P2（x2,y2）
=
不存在

k=

当
=
时，
=900，
不存在。当
时，
=arctank，
＜0时，
=
+arctank

3、截距（略）曲线过原点
横纵截距都为0。

4、直线方程的几种形式

已知

方程

说明

几种特殊位置的直线



斜截式

K、b

Y=kx+b

不含y轴和行平于y轴的直线

①x轴：y=0



点斜式

P1=(x1,y1)

k

y-y1=k(x-x1)

不含y轴和平行于y轴的直线

②y轴：x=0



两点式

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)



不含坐标辆和平行于坐标轴的直线

③平行于x轴：y=b



截距式

a、b



不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线

④平行于y轴：x=a

⑤过原点：y=kx



一般式



Ax+by+c=0

A、B不同时为0





两个重要结论：①平面任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。

②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k为参数y-y0=k（x-x0）

特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含y轴）

（2）平行直线系：①y=kx+b，k为定值，b为参数。

②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系

③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系

（3）过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含L2）

6、三点共线的判定：①
，②KAB=KBC，

③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

二、两直线的位置关系

1、

L1：y=k1x+b1

L2：y=k2x+b2

L1：A1X+B1Y+C1=0

L2：A2X+B2Y+C2=0

L1与L2组成的方程组



平行

K1=k2且b1≠b2



无解



重合

K1=k2且b1=b2



有无数多解



相交

K1≠k2



有唯一解



垂直

K1·k2=-1

A1A2+B1B2=0





（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）

2、L1?到L2的角为0，则
（
）

3、夹角：

4、点到直线距离：
（已知点（p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0）

①两行平线间距离：L1=AX+BY+C1=0 L2：AX+BY+C2=0

②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±

③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是

5、对称：（1）点关于点对称：p(x1,y1)关于M（x0,y0）的对称

（2）点关于线的对称：设p(a、b)

对称轴

对称点

对称轴

对称点



X轴



Y=-x





Y轴



X=m(m≠0)





y=x



y=n(n≠0)





一般方法：

如图：(思路1)设P点关于L的对称点为P0(x0,y0) 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 交于
点，点
在直线
上运动，过
做圆
的切线，切点为
，求
垂心
的轨迹．

类型九：圆的综合应用

例24、 已知圆
与直线
相交于
、
两点，
为原点，且
，数
的值．

例25、已知对于圆
上任一点
，不等式
恒成立，数
的取值围．

例26 有一种大型商品，
、
两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离
地的运费是
地的运费的3倍．已知
、
两地距离为10公里，顾客选择
地或
地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求
、
两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线、曲线外的居民应如何选择购货地点．

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