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2021《好题》快递17 动能和动能定理(计算题)

1．如图所示，光滑圆柱A和半圆柱B紧靠着静置于水平地面上，二者半径均为R、质量均为m。现给A施加一大小变化的拉力F，使A缓慢移动，移动过程中拉力F与水平方向的夹角θ始终为60°，直至A恰好运动到B的最高点处于静止状态，整个过程中B始终保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，拉力F大小未知，求：

(1)整个过程中拉力F做的功W；

(2)A恰好运动到B的最高点时，地面对B的支持力N0；

(3)A刚要离开地面时拉力的大小F和此时B与地面动摩擦因数的最小值μ。

【答案】(1)mgR；(2)2mg；(3)
；

【解析】

(1)对A由动能定理得

W-mgR=0

解得

W=mgR

(2)A恰好运动到B的最高点时，根据共点力的平衡条件可知：A受重力和B对A的支持力，拉力

F=0

对A、B整体分析，由共点力的平衡条件得

N0=mg+mg=2mg

(3)A刚要离开地面时，地面对A的支持力为零，A受力如图，根据几何关系可得出α=30°，即刚开始时B对A的支持力N1与拉力F垂直

根据平衡条件有

F=mgcosα=

A、B整体受到重力、地面的支持力N、拉力F和地面水平向右的摩擦力，根据平衡条件有

解得

2．如图甲所示为某玩具的部分轨道，该部分轨道可抽象为图乙的模型。
和
为两段长度分别为
和
的水平直管道，
为水平半圆形管道，
是由4段半径为
的四分之一圆组成的竖直圆管道，
由两段半径为
的相同圆弧形圆槽轨道组成，其圆心角为60°，竖直放置。一质量为
的半径略小于管道直径的小球在弹射装置的推动下可以从A端射入G端水平射出。已知小球在运动过程中与直管道
及
间的阻力恒为
，与其他轨道间的阻力可忽略不计，管道直径远小于圆弧轨道半径，且各部分轨道相切并光滑连接，取
。求：

（1）当弹射装置的弹簧压缩一定量时，具有
的弹性势能，静止释放后小球第一次刚过竖直圆弧管道C点时小球对轨道的作用力；

（2）要使小球能完成整个运动过程，即从G点水平抛出，则弹射装置至少需要多大弹性势能；

（3）若水平轨道
长度可以调整，则当弹射装置具有
的弹性势能时，发射的小球从G点抛出后第一落点离E点的最大距离为多少。

【答案】（1）5.5N，竖直向下；（2）1.9J；（3）

【解析】

（1）小球从静止释放到第一次刚过竖直圆弧管道C点，由动能定理得

解得

在C点根据牛顿第二定律有

解得

由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为5.5N，方向：竖直向下。

（2）小球过D点，则

解得

小球过G点时，有

得

综上，弹性势能至少

（3）
能过G点，有

（
）

（
）

得

位移为

解得

3．学校科技小组设计了“e”字型竖直轨道。该轨道由两个光滑半圆形轨道
、
和粗糙的水平直轨道
组成，末端与竖直的弹性挡板
连接，轨道
半径
，轨道
半径为
，
端与地面相切。一小滑块从光滑水平地面
点以速度
滑上轨道，运动到
点时与挡板发生碰撞并以原速率反弹，已知直线轨道
长为
，小滑块与轨道
的动摩擦因数
，其余阻力均不计，小滑块可视为质点，重力加速度g取10 m/s2。求：

（1）小滑块第一次经过轨道最高点
时的速率；

（2）小滑块最终停止的位置到
点的距离；

（3）若改变小滑块的初速度，使小滑块能停在
轨道上，且运动过程中不脱离轨道，则小滑块的初速度应满足什么条件？（结果可含根号）

【答案】（1）2m/s；（2）0.3m；（3）

【解析】

（1）设小滑块的质量为m，第一次经过轨道最高点C时的速率为vC，对小滑块从P到C的运动过程由动能定理有

解得

（2）假设小滑块第一次滑上轨道EF后就未再离开EF，且运动的距离为s，则对小滑块从开始运动到最终停下由动能定理有

解得

假设成立，所以小滑块最终停止的位置到F点的距离为

（3）为满足题意，当小滑块 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 的动摩擦因数均为2tanθ。将它们由静止从SS＇上方某处释放，四块木板均能通过TT＇。重力加速度为g。求：

（1）木板A在通过TT＇前速度最大时，其下端到SS＇的距离；

（2）木板A的下端到达TT＇时，木板C的加速度大小和方向；

（3）若其他条件不变，改为只释放A、B两块木板，且SS＇、TT＇的间距为2L，求要使得两块薄木板都能通过TT＇，开始下滑时，木板A的下端到SS＇距离至少应满足的条件。

【答案】（1）2L （2）
沿斜面向上 （3）x>

【解析】

（1）将四块薄木板看成整体，当它们合力为零时，速度达到最大，设此时有质量为M的木板滑入SS＇、TT＇间，则

4mgsinθ=μMgcosθ

解得

M=2m

即木板A的下端到SS＇的距离为2L时，速度最大。

（2）对四块薄木板整体由牛顿第二定律得

4mgsinθ?μ·3mgcosθ=4ma

得到

a=

则木板C的加速度大小为
，方向沿斜面向上。

（3）薄木板A的下端滑至TT＇前，两木板不分离。设开始下滑时，A的下端到SS＇的距离为x1，A的下端滑至TT＇前瞬间速度为v。对于薄木板A的下端滑至TT＇前瞬间的过程，对两木板应用动能定理有

2mgsinθ×（2L+x1）?
=

薄木板A的下端离开TT＇后，两木板分离。要使两块薄木板都能滑出TT＇处，薄木板B的中点过TT＇处时它的速度应大于零。当薄木板B的中点过TT＇处速度恰好等于零时，对木板B应用动能定理，有

mgsinθ×（L+
L）?（μmgcosθ×L
）=0–

得

x1=
L

即释放时，A下端离SS＇的距离至少应满足x>
L。

7．如图甲所示，游乐公园的回环过山车为避免游客因向心加速度过大而难以忍受，竖直面的回环被设计成“雨滴”形而不是圆形。图乙为某兴趣小组设计的回环过山车轨道模型，倾角
的倾斜轨道AB与地面水平轨道BC在B处平滑连接，“雨滴”形曲线轨道CDE左右对称，D为最高点。对于一般曲线上的某点，若存在一个最接近该点附近曲线的圆，则这个圆叫做曲率圆，它的半径叫做该点的曲率半径。图乙中圆1和圆2分别为C、D两点的曲率圆，半径分别为
、
。现将质量
的小滑块（可视为质点）从轨道AB上某点由静止释放，滑块在轨道CDE内侧运动时的向心加速度恰好始终恒为
。已知曲线轨道CDE光滑，其余直轨道与滑块之间的动摩擦因数均为
，BC段的长度
，重力加速度g取
，
，
。

(1)求滑块在D点时对轨道的压力；

(2)求曲线轨道CDE上高度
的P点的曲率半径；

(3)要使滑块能顺利通过轨道CDE，运动时的向心加速度不超过3g。求滑块在轨道AB上释放点高度H的范围。

【答案】(1)5N，方向竖直向上；(2)
；(3)

【解析】

(1)设滑块在D点所受的压力为F，根据向心力公式

解得

由牛顿第三定律，滑块对轨道压力大小为5N，方向竖直向上

(2)滑块在轨道CDE中，根据向心加速度公式
，则滑块在C。D两点的速度分别为

，

设P点的曲率半径为R，速度为v，从C点到P点的过程中，由动能定理

且

则P点曲率半径

(3)设C、D两点高度差为
，从C点到D点的过程中，由动能定理

解得

设曲线轨道上高度为h某点的曲率半径为R，由上题可知

从该点到D点，根据动能定理有：

该点向心加速度

①假设滑块在D点刚好没有脱离轨道，即向心加速度为g，设在D点的速度为
，则

解得

故当
时，
（仅在D点时取等号），因此，滑块在轨道CDE上其他位置的加速都大于g，不会脱离轨道，设滑块最低释放点高度为
，从释放到D点的过程中，由动能定理

解得

②假设滑块在D点时的向心加速度为3g，则有

解得

根据
可知，当
时，
（仅在D点时取等号），因此滑块在轨道CDE上的向心加速度在D点最大，其他位置的都小于3g，设滑块最高释放点高度为B，从释放点到D点的过程中，由动能定理

解得

综上可知

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