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2021《好题》快递17 动能和动能定理(计算题)

1．如图所示，光滑圆柱A和半圆柱B紧靠着静置于水平地面上，二者半径均为R、质量均为m。现给A施加一大小变化的拉力F，使A缓慢移动，移动过程中拉力F与水平方向的夹角θ始终为60°，直至A恰好运动到B的最高点处于静止状态，整个过程中B始终保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，拉力F大小未知，求：

(1)整个过程中拉力F做的功W；

(2)A恰好运动到B的最高点时，地面对B的支持力N0；

(3)A刚要离开地面时拉力的大小F和此时B与地面动摩擦因数的最小值μ。

【答案】(1)mgR；(2)2mg；(3)
；

【解析】

(1)对A由动能定理得

W-mgR=0

解得

W=mgR

(2)A恰好运动到B的最高点时，根据共点力的平衡条件可知：A受重力和B对A的支持力，拉力

F=0

对A、B整体分析，由共点力的平衡条件得

N0=mg+mg=2mg

(3)A刚要离开地面时，地面对A的支持力为零，A受力如图，根据几何关系可得出α=30°，即刚开始时B对A的支持力N1与拉力F垂直

根据平衡条件有

F=mgcosα=

A、B整体受到重力、地面的支持力N、拉力F和地面水平向右的摩擦力，根据平衡条件有

解得

2．如图甲所示为某玩具的部分轨道，该部分轨道可抽象为图乙的模型。
和
为两段长度分别为
和
的水平直管道，
为水平半圆形管道，
是由4段半径为
的四分之一圆组成的竖直圆管道，
由两段半径为
的相同圆弧形圆槽轨道组成，其圆心角为60°，竖直放置。一质量为
的半径略小于管道直径的小球在弹射装置的推动下可以从A端射入G端水平射出。已知小球在运动过程中与直管道
及
间的阻力恒为
，与其他轨道间的阻力可忽略不计，管道直径远小于圆弧轨道半径，且各部分轨道相切并光滑连接，取
。求：

（1）当弹射装置的弹簧压缩一定量时，具有
的弹性势能，静止释放后小球第一次刚过竖直圆弧管道C点时小球对轨道的作用力；

（2）要使小球能完成整个运动过程，即从G点水平抛出，则弹射装置至少需要多大弹性势能；

（3）若水平轨道
长度可以调整，则当弹射装置具有
的弹性势能时，发射的小球从G点抛出后第一落点离E点的最大距离为多少。

【答案】（1）5.5N，竖直向下；（2）1.9J；（3）

【解析】

（1）小球从静止释放到第一次刚过竖直圆弧管道C点，由动能定理得

解得

在C点根据牛顿第二定律有

解得

由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为5.5N，方向：竖直向下。

（2）小球过D点，则

解得

小球过G点时，有

得

综上，弹性势能至少

（3）
能过G点，有

（
）

（
）

得

位移为

解得

3．学校科技小组设计了“e”字型竖直轨道。该轨道由两个光滑半圆形轨道
、
和粗糙的水平直轨道
组成，末端与竖直的弹性挡板
连接，轨道
半径
，轨道
半径为
，
端与地面相切。一小滑块从光滑水平地面
点以速度
滑上轨道，运动到
点时与挡板发生碰撞并以原速率反弹，已知直线轨道
长为
，小滑块与轨道
的动摩擦因数
，其余阻力均不计，小滑块可视为质点，重力加速度g取10 m/s2。求：

（1）小滑块第一次经过轨道最高点
时的速率；

（2）小滑块最终停止的位置到
点的距离；

（3）若改变小滑块的初速度，使小滑块能停在
轨道上，且运动过程中不脱离轨道，则小滑块的初速度应满足什么条件？（结果可含根号）

【答案】（1）2m/s；（2）0.3m；（3）

【解析】

（1）设小滑块的质量为m，第一次经过 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 为R，由上题可知

从该点到D点，根据动能定理有：

该点向心加速度

①假设滑块在D点刚好没有脱离轨道，即向心加速度为g，设在D点的速度为
，则

解得

故当
时，
（仅在D点时取等号），因此，滑块在轨道CDE上其他位置的加速都大于g，不会脱离轨道，设滑块最低释放点高度为
，从释放到D点的过程中，由动能定理

解得

②假设滑块在D点时的向心加速度为3g，则有

解得

根据
可知，当
时，
（仅在D点时取等号），因此滑块在轨道CDE上的向心加速度在D点最大，其他位置的都小于3g，设滑块最高释放点高度为B，从释放点到D点的过程中，由动能定理

解得

综上可知

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