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展课1

大家好，我是郭某某老师

下面进行今天的授课内容

通过习题来复习直线方程及公式运用

我们先来下面的例题

求经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程

在解答这道题之前我们先来复习下直线议程的五种表达形式

点斜式：y-y。=k(x-x。)

适用范围：不含直线x=x。

斜截式：y=kx+b

适用范围：不含垂直x轴的直线

两点式：（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)

适用范围：不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)

截距式：x/a+y/b=1

适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)

适用范围：平面内所有直线都适用

好，这是直线的五种表达形式，下面我们重新读题

求经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程

通过读题，我们已知的条件只有两个

过点P(3,2)

直线在两坐标轴上的截距相等

那么在已知的直线五种表达式中，我们可以最快的想到的是用哪种表达式来求解？

是不是截距式？！

因为什么？因为已知中有截距且相等，对吧！

而且还过定点P(3,2)

那么我们根据截距式能不能求出直线方程？

可以吧！

下面我们再重新复习下截距式

截距式：x/a+y/b=1

适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线

那接下来我们是不是要来设未知数呀？

截距式中有两个未知数a、b

但我们知道，已知条件中这两个截距相等，那么我们是不是可以设这两个截距同时为a

可以吧！

设直线l在坐标上的两个截距为a

则直线方程根据截距式可表达为

x/a+y/a=1

将定点P(3,2)代入直线方程

3/a+2/a=1

解得a=5

则直线方程l：x+y-5=0(化为一般式)

解到这里，我们是不是已经解出直线方程了，那么这个解正不正确，或者有没有可能漏解？

是不是需要验证一下

如何验证？

我们重新看下截距式的表达形式及适用范围

截距式：x/a+y/b=1

适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线

我们注意，截距式的适用范围是不是有两种情况不适用呀

垂直于坐标轴的直线不适用

因为什么？

因为一但垂直坐标轴，直线只能有一个截距，不能同时有a、b两个截距

那我们验证下解得的直线方程l：x+y-5=0

满不满足这个条件

通过验证，我们发现直线方程l：x+y-5=0满足同时在x、y轴上都有截距，并且截距为5

我们继续看第二种不适用的情况

过原点的直线不适用

为什么不能适用过原点的直 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 5=0

这是我们解得的第二个直线方程，那么继续旋转直线，还有其他直线能满足题干吗？

如果直线转到如下图所示位置时满足题干吗？

这种情况满足吗？

不满足！

为什么？

此时直线与坐标轴交点到原点的距离相等，但并不代表在坐标轴上截得的截距相等

能理解这句话吗？

因为什么?

因为截距分正负，所以这种情况是不满足的

所以综上所述，直线方程为x+y-5=0或2x-3y=0

通过以上两种解答方法，也互相印证了直线方程

但是大家有没有发现，以上两种方法有一个弊端呀

就是很容易丢解

第一种方法中，你如果未验证过原点这条直线是不是就丢了一个解

第二种方法中，你如果未将两种情况全都画出来，是不是也会丢解?

那么，有没有一种方法，能保证直接就能解出直线方程，而且不会丢解？

那么我们就要继续深入挖掘已知条件

我们重新读题

求经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程

从已知条件中我们可以理解为，是不是直线与两坐标轴都有交点吧？

因为你在两个坐标轴上都有截距呀，对吧

那么我们是不是就可以认为这条直线存在斜率k，并且斜率k不等于0吧

如果k等于0，直线与x轴就没交点了吧，就不满足已知条件了吧

所以我们可以设这条直线存在斜率k且k≠0

又已知过定点P(3,2)

那么我们利用点斜式是不是就可以表达出直线方程为y-2=k(x-3)

对吧

那么此时我们想求出k，是不是还要知道一个点才能求出k呀

但是通过读题干，已知条件中除了P(3,2)这个点外，再没其他的点了

那么我们就不能通过这个思路求k

再重新读遍题干

求经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程

截距相等，那么我们可不可以用k来表达截距？

直线方程如下y-2=k(x-3)

那么在X轴上的截距我们可以怎么表示？

是不是纵坐标y=0呀

同理Y轴上的截距我们就认为横坐标x=0呀

当x=0时y-2=k（0-3）得y=2-3k

当y=0时0-2=k（x-3）得x=3-2/k

截距相等

2-3k=3-2/k

解得k=-1或k=2/3

代入整理直线方程为x+y-5=0或2x-3y=0

通过今天这节课，我们重新复习了直线方程，以及如何选择直线方向表达示进行解题，同时培养大家多思维解题的习惯

上面的解题方法中，最直接的肯定是用截距式求解，而最快的是数形结合，最不容易丢解的是第三种方法，每种方法，各有各的好处，但如果都能掌握，对于你解题会有更多的思路，培养这种多思维解题的习惯有助于你更快的解题。

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