21届五模数学试题
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2021年21届高三第五次模拟考试
数 学
命题人：
审题人：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色水性笔答在答题卡上.在本试卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则A∩B＝（ ）
A．[㧟3，2） B．（2，3] C．[㧟1，2） D．（㧟1，2）
2．复数z＝（a2㧟1）+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a的取值是（ ）
A．3 B．㧟2 C．㧟1 D．1
3．已知，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
浑河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从XX码头出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为，东水流速度的大小为.设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
在东侧
B．在西侧
恰好与重合
D．无法确定
已知点的坐标为，将向量绕原点逆时针方向旋转到的位置，则点坐标为（ ）
A． B． C. D.
函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为______.(e为自然对数的底）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥A㧟BCD中，底面BCD是边长为2的正三角形，侧面ABD⊥底面BCD，且AB＝AD＝2，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．12π B．16π C．20π D．24π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1 B．2
C． D．a2+a＜b2+b
10.下列说法不正 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 2）若的外接圆半径，求周长的最大值.
18．（本小题12分）
已知等差数列的前项某某，，，数列的项某某.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2021项和.
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，，且，E，F分别是，的中点.
（Ⅰ）若D是的中点，求证：平面AEF；
（Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线与平面AEF所成的角为？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.
20. （本题满分12分）
马拉松（Marathon）长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合为42.195千米（也有说法为42.193千米）。分全程马拉松（Full Marathon）、半程马拉松（Half Marathon）和四分马拉松（Quarter Marathon）三种。以全程马拉松比赛最为普及，一般提及马拉松，即指全程马拉松。2021年XX国际马拉松将于9月19日在辽宁XX举行，本次“沈某某”获评“2021世界田联标牌”赛事。为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某高中选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：
喜欢跑步
不喜欢跑步
合计
男生
80
女生
20
合计
已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．
（1）判断是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望
参考公式及数据：，其中．
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21. （本题满分12分）
已知函数．(e为自然对数的底）
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）证明有唯一的极值点，且．
22．（本题满分12分）
已知抛物线的焦点，若平面上一点到焦点与到准线的距离之和等于7．
(1)求抛物线的方程；
(2)又已知点为抛物线上任一点，直线交抛物线于另一点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点，连接 问直线是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由．
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