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全等三角形问题中常见的辅助线的作法

巧添辅助线一——倍长中线

【夯实基础】

例：
中，AD是
的平分线，且BD=CD，求证AB=AC

方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等

方法2：辅助线同上，利用面积

方法3：倍长中线AD

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC中 方式1： 延长AD到E，

AD是BC边中线 使DE=AD，

连接BE

方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F， 延长MD到N，

作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，

连接BE 连接CD

【经典例题】

例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA

三角形BEG是等腰三角形

例4：已知：如图，在
中，
，D、E在BC上，且DE=EC，过D作
交AE于点F，DF=AC.

求证：AE平分

提示：

方法1：倍长AE至G，连结DG

方法2：倍长FE至H，连结CH

例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，

求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE至F，连结DF

证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）

进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）

【融会贯通】

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

提示：延长AE、DF交于G

证明AB=GC、AF=GF

所以AB=AF+FC

2、如图，AD为
的中线，DE平分
交AB于E，DF平分
交AC于F. 求证：

3、已知：如图，(ABC中，(C=90(，CM(AB于M，AT平分(BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.

提示：过T作TN⊥AB于N

证明ΔBTN≌ΔECD

截长补短法引辅助线

思路：当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：
，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。

通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。

例1. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。

求证：AB＝AC＋CD

内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

2：（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=
，AC=
，求AE、BE的长.

总结口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。  角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。  线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。  三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

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