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2020年山东省高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共8题；共40分）

1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2

1

2

???????/C.?

log

2

??+

log

2

??≥?2???????/D.?

??

+

??

≤

2

12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 1,2,?,?? ，且 ??(??=??)=

??

??

>0(??=1,2,?,??),

??=1

??

??

??

=1 ，定义X的信息熵 ??(??)=?

??=1

??

??

??

log

2

??

??

.（??? ）

A.?若n=1，则H(X)=0B.?若n=2，则H(X)随着

??

1

的增大而增大C.?若

??

??

=

1

??

(??=1,2,?,??) ，则H(X)随着n的增大而增大D.?若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 1,2,?,?? ，且 ??(??=??)=

??

??

+

??

2??+1???

(??=1,2,?,??) ，则H(X)≤H(Y)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)（共4题；共20分）

13.斜率为

3

的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 |????| =________．

14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项某某________．

15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=

3

5

， ????∥???? ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2 ．

/

16.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以

??

1

为球心，

5

为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)（共6题；共70分）

17.在① ????=

3

，② ??sin??=3 ，③ ??=

3

?? 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 ?? 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在 △?????? ，它的内角 ??,??,?? 的对边分别为 ??,??,?? ，且 sin??=

3

sin?? ， ??=

??

6

，?? ▲?? ?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18.已知公比大于1的等比数列 {

??

??

} 满足

??

2

+

??

4

=20,

??

3

=8 ．

（1）求 {

??

??

} 的通项公式；

（2）记

??

??

为 {

??

??

} 在区间 (0,??](??∈

??

?

) 中的项的个数，求数列 {

??

??

} 的前100项和

??

100

．

19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 PM2.5 和

SO

2

浓度（单位： μ

g/m

3

），得下表：

????????

SO

2

PM2.5

[0,50]

(50,150]

(150,475]













[0,35]

32

18

4



(35,75]

6

8

12



(75,115]

3

7

10



附：

??

2

=

??

(?????????)

2

(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)

，

??(

??

2

≥??)

0.050?????? 0.010?????? 0.001



??

3.841?????? 6.635?????? 10.828



（1）估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过75，且

SO

2

浓度不超过150”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表：

????????

SO

2

PM2.5

[0,150]

(150,475]



[0,75]







(75,115]







（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99% *** PM2.5 浓度与

SO

2

浓度有关？

20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

/

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

21.已知函数 ??(??)=??

??

???1

?ln??+ln?? ．

（1）当 ??=?? 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

22.已知椭圆C：

??

2

??

2

+

??

2

??

2

=1(??>??>0) 的离心率为

2

2

，且过点A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

答案解析部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【答案】 C

【考点】并集及其运算

【解析】【解答】 ??∪??=[1,3]∪(2,4)=[1,4)

故答案为：C

【分析】根据集合并集概念求解.

2.【答案】 D

【考点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】

2???

1+2??

=

(2???)(1?2??)

(1+2??)(1?2??)

=

?5??

5

=???

故答案为：D

【分析】根据复数除法法则进行计算.

3.【答案】 C

【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有

??

6

1

；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有

??

5

2

；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有

??

6

1

?

??

5

2

=6×10=60 种.

故答案为：C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

4.【答案】 B

【考点】平面与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】画出截面图如下图所示，

/

其中 ???? 是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知 ????⊥?? ； ???? 是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知 ??//???? 、根据线面垂直的定义可得 ????⊥?? ..

由于 ∠??????=40°,??//???? ，所以 ∠??????=∠??????=40° ，

由于 ∠??????+∠??????=∠??????+∠??????=90° ，

所以 ∠??????=∠??????=40° ，也即晷针与点 ?? 处的水平面所成角为 ∠??????=40° .

故答案为：B

【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.

5.【答案】 C

【考点】概率的基本性质，条件概率与独立事件

【解析】【解答】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ??+?? ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ????? ，

则 ??(??)=0.6 ， ??(??)=0.82 ， ??(??+??)=0.96 ，

所以 ??(?????)= ??(??)+??(??)???(??+??) =0.6+0.82?0.96=0.46

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46% .

故答案为：C.

【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ?? ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ??+?? ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ????? ，然后根据积事件的概率公式 ??(?????)= ??(??)+??(??)???(??+??) 可得结果.

6.【答案】 B

【考点】类比推理

【解析】【解答】因为

??

0

=3.28 ， ??=6 ，

??

0

=1+???? ，所以 ??=

3.28?1

6

=0.38 ，所以 ??(??)=

??

????

=

??

0.38??

，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为

??

1

天，

则

??

0.38(??+

??

1

)

=2

??

0.38??

，所以

??

0.38

??

1

=2 ，所以 0.38

??

1

=ln2 ，

所以

??

1

=

ln2

0.38

≈

0.69

0.38

≈1.8 天.

故答案为：B.

【分析】根据题意可得 ??(??)=

??

????

=

??

0.38??

，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为

??

1

天，根据

??

0.38(??+

??

1

)

=2

??

0.38??

，解得

??

1

即可得结果.

7.【答案】 A

【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，平行投影及平行投影作图法

【解析】【解答】

????

的模为2，根据正六边形的特征，

/

可以得到

????

在

????

方向上的投影的取值范围是 (?1,3) ，

结合向量数量积的定义式，

可知

????

?

????

等于

????

的模与

????

在

????

方向上的投影的乘积，

所以

????

?

????

的取值范围是 (?2,6) ，

故答案为：A.

【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到

????

在

????

方向上的投影的取值范围是 (?1,3) ，利用向量数量积的定义式，求得结果.

8.【答案】 D

【考点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】因为定义在R上的奇函数 ??(??) 在 (?∞,0) 上单调递减，且 ??(2)=0 ，

所以 ??(??) 在 (0,+∞) 上也是单调递减，且 ??(?2)=0 ， ??(0)=0 ，

所以当 ??∈(?∞,?2)∪(0,2) 时， ??(??)>0 ，当 ??∈(?2,0)∪(2,+∞) 时， ??(??)??>0 ，则 ??

??

2

+??

??

2

=1 可化为

??

2

1

??

+

??

2

1

??

=1 ，

因为 ??>??>0 ，所以

1

??

<

1

??

，

即曲线 ?? 表示焦点在 ?? 轴上的椭圆，A符合题意；

对于B，若 ??=??>0 ，则 ??

??

2

+??

??

2

=1 可化为

??

2

+

??

2

=

1

??

，

此时曲线 ?? 表示圆心在原点，半径为

??

??

的圆，B不正确；

对于C，若 ????0 ，则 ??

??

2

+??

??

2

=1 可化为

??

2

=

1

??

，

??=±

??

??

，此时曲线 ?? 表示平行于 ?? 轴的两条直线，D符合题意；

故答案为：ACD.

【分析】结合选项进行逐项分析求解， ??>??>0 时表示椭圆， ??=??>0 时表示圆， ????0 时表示两条直线.

10.【答案】 B,C

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，诱导公式

【解析】【解答】由函数图像可知：

??

2

=

2

3

???

??

6

=

??

2

，则 ??=

2??

??

=

2??

??

=2 ，所以不选A,

当 ? 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。

1

?2)

2

+1?

??

2

2

=0 ,

结合

??

1

2

6

+

??

1

2

3

=1 ,解得

??

1

=2(舍),

??

1

=

2

3

,

此时直线MN过点 ??(

2

3

,?

1

3

) ,?

由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，

所以AE中点Q满足 |????| 为定值（AE长度的一半

1

2

(2?

2

3

)

2

+

(1+

1

3

)

2

=

4

2

3

）.

由于 ??(2,1),??(

2

3

,?

1

3

) ，故由中点坐标公式可得 ??(

4

3

,

1

3

) .

故存在点 ??(

4

3

,

1

3

) ，使得|DQ|为定值.

【考点】椭圆的定义，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 ??=????+?? , 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.

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