1.1有理数知识点
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1.1.1有理数
【思维导图】
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【知识要点】
知识点一 有理数基础概念
有理数（概念理解）
正数：大于0的数叫做正数。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。
有理数的分类（两种）（见思维导图）
数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
【注意】
数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。
相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
绝对值
绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。
绝对值的意义：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
（互为相反数的两个数的绝对值相等。）
比较大小
1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
4）两个正数比较，绝对值大的反而大。
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
知识点二 有理数四则运算
有理数的加法（重点）
有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
4.一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的加法运算律：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
即；
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
即。
有理数的减法
有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。即。
注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。
有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数的倒数是）
多个有理数相乘的法则及规律：
几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
有理数的除法
有理数除法法则：
（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。
（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律
知识点三 有理数的乘方
/乘方（重点）
一般地，个相同的因数相乘，即/，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：
根据乘方的符号规律确定结果的符号。
计算结果的绝对值。
有理数的混合运算
运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算,从左到右进行；
（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
科学记数法
把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）
把还原成原某某，只需把的小数点往前移动位。
近似数和有效数字
在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
【考查题型】
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考查题型一 有理数概念理解
【解题思路】理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例1．（2020·西安一模）在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式1-1．（2020·南京市模拟）设 a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a，b，c 三个数的和为（ ）
A．㧟1 B．0 C．1 D．不存在
变式1-2．（2020·滨州市期末）在下列实数：、、、、、㧟0.***中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考查题型二 用数轴上的点表示有理数
【解题思路】在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
典例2．（2020·兴化市模拟）如图，数轴上两点A,B表示的数互为相反数，则点B表示的（ ）
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A．-6 B．6 C．0 D．无法确定
变式2-1．（2020·三门峡市模拟）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）
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A．3 B．2 C．1 D．－1
变式2-2．（2020·福建中考真题）如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ）
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A． B．1 C．2 D．3
考查题型三 求一个数的相反数
【解题思路】理解相反数的概念
典例3．（2020·吉林中考真题）㧟6的相反数是（ ）
A．㧟6 B．㧟 C．6 D．
变式3-1．（2020·杭州市模拟）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
变式3-2．（2020·**_*·中考真题）下列式子中，正确的是（ ）
A．|㧟5|=㧟5 B．㧟|㧟5|=5 C．㧟（㧟5）=㧟5 D．㧟（㧟5）=5
考查题型四 求一个数的绝对值
【解题思路】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
典例4．（2020·**_*·中考真题）的绝对值是（ ）
A． B．2020 C． D．
变式4-1．（2020·河北模拟）的值为（ ）
A． B． C． D．2
变式4-2．（2020·北碚区模拟）已知，，且，则的值为（ ）
A．1或7 B．1或-7 C．±1 D．±7
考查题型五 有理数比较大小
【解题思路】理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小。
典例5．（2020·河北模拟）在0，㧟1，0.5，（㧟1）2四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．㧟1 C．0.5 D．（㧟1）2
变式5-1．（2020·**_*模拟）有理数，在数轴上所对应的点的位置如图，下列说法正确的是（ ）
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A． B． C． D．
变式5-2．（2020·沈阳市模拟）如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
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A．点M B．点N C．点P D．点Q
考查题型六 有理数的加减乘除混合运算
【解题思路】针对有理数的混合运算，掌握有理数的运算顺序和各个运算法则是解题关键．
典例6．（2020·某地中考真题）计算：．
变式6-1．（2020·广西中考真题）计算：．
变式6-2．（2020·浙江模拟）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
考查题型七 科学记数法
【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|1时，n是正数；当原数的绝对值
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