以下为《【专题】立体几何之展开法求最值（解析版）》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。

专题 利用展开图求空间距离最值

[方法点拨]几何变换，化折为直。求解空间两点间距离的最小值或空间两条线段和的最小值问题（最小折线长或最小表面积），利用降维思想，应当考虑通过对立体图形作翻折、平移、侧面展开等几何变换，将线段所在平面展开至同一平面内或将侧面展开，将空间问题转化为平面内两点间距离最小值。

1.[2021金陵中学期末.16]如图，在正三棱锥P-ABC中，侧棱长为??

??

，底面边长为4，D为AC中点，E为AB中点，M是线段PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM+MN最小值是（ ）/

[分析]由于M、N都是动点，A是定点，可将△PAD沿PD折起，使其所在平面与平面PCE垂直，则求AM+MN最小值问题即转化为求点A到平面PCE距离的问题，也可将过PD且垂直于某某PCE的△POD折至与面PDA共面，则求AM+MN最小值问题即转化为点A到直线PO距离的最小值 。

//

2.如图所示，圆台母线AB长为20cm，上下底面半径分别为5cm和10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，则这条绳子的最小值为（ ）cm。

/

/

3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,E为棱AB的中点.一个点从E出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到E，则整个线路的最小值为（ ）

/

[解析]如图，将正方体六个面展开，从图中E到E，两点之间的距离最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为3

2

。

/

【巩固练习】

1..[2006江西卷文科15]如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高某某8，一质点自A点出发，沿着三棱锥的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为（ ）

【答案】13.将侧面二次展开，得到长、宽各为12cm、5cm的矩形，其对角线即为所求。

//

2.三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=1，∠ASB=∠BSC=∠CSA=300，M和N分别是棱SB和SC上的点，则△AMN周长的最小值为（ ）.

【答案】

2

将三棱锥的侧面沿SA展开，AMNA’共线时最短。

/

3.如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP+D1P最短，则AP+D1P的最小值为（ ）.

/

【答案】

2+

2

将△ABA1折起，使之与平面A1D1CB共面，当A、P、D1共线时，AP+D1P取得最小值，在△AA1D1由余弦定理可解AD1

/

4.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），过圆柱上下底面中心的平面截圆柱侧面得边长为2的正方形ABCD，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程为（ ）

/ /

【答案】

??

2

+9

如图，AB=π，P、Q关于直线CD对称，PQ=3，有勾股定理可解。

5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=BC=

2

,BB1=2,∠ABC=900，E，F分别为AA1，C1B1的中点，则沿棱柱的表面从点E到点F最短路径为（ ）

/

【答案】

3

2

2

.若将△A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F在同一平面内，则此时EF=

7

2

+

2

.若将侧面沿BB1展成平面，则此时EF=

11

2

.若将△A1B1C1沿A1C1折起使得E，F在同一平面内，则此时EF=

3

2

2

。经比较知沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径为

3

2

2

.

6.[2005江西理数15]如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=BC,且∠BAC=

??

??

，则 PA与底面ABC所成角为（ ）

7.[2006江西卷理数15]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=900

,AC=6,BC=CC1=

??

，P是BC1上的动点，则CP+PA1的最小值是（ ）

8.[佛山2022级高一下第二次联考]某圆柱的高某某

????

，底面圆的半径为

??

，则在次在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为（ ）

/

9.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为面对角线BC1上一动点，Q是边BC上一动点，则D1P+PQ的最小值为（ ）

/ /

【答案】

2+

2

2

.把△BCC1折到平面ABC1D1上展开如图所示，过点D1作D1Q⊥BC于点Q，交BC1与点P，因为垂线段最短，所以D1Q的长就是D1P+PQ的最小值.D1Q=D1P+PQ=

2

+（

2

?1）sin450=1+

2

2

10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=

??

,BC=AA1=1,点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（店P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（ ）

A.

??

??

B.

??

??

C.

??

??

D.1

【答案】C利用折叠与展开法则，在同一平面转化折线为直线距离最小值，转化为求MP+PQ的最小值。由题意，要求MP+PQ的最小值。Q是P在底面上的射影距离最小，展开△ACC1与△AB1C1，在同一个平面上，∠BA1C1=∠C1AC=300，AM=

3

2

，可得MQ⊥AC时，MP+PQ的最小值为

3

2

sin600=

??

??

11.[湖南名校联盟2023届高三5月联考]（多选）如图，在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB1和BC的中点，M是截面A1ACC1上的一个动点（不包含边界），若A1M⊥AB1，则下列结论正确的上（ ）A.AM的最小值为

??

??

B.三棱锥A-EFM的体积为定值

C.有且仅有一个点M,使得EM∥平面ABCD D.AM+EM的最小值为

??

??

/

/

12.如图，圆锥的顶点为P,底面圆O半径为1，圆锥侧面积为

2

??，AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，且BC=

2

，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.

/

////

以上为《【专题】立体几何之展开法求最值（解析版）》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读上面文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。