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10.1.4　概率的基本性质

学 习 目 标

核 心 素 养



1.通过实例，理解概率的性质．(重点、易混点)

2．掌握随机事件概率的运算法则．(难点)

1.通过对概率性质的学习，培养数学抽象素养．

2．通过利用随机事件概率的运算法则求解随机事件的概率，培养数学运算素养.





甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.

问题：甲获胜的概率是多少？

概率的基本性质

性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.

性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.

性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．

性质5　如果A?B，那么P(A) ≤P(B)．

性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

思考1：设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？

[提示]　不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

思考2：从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记 “其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件是什么？

[提示]　事件A的对立事件是“其中至多有2名女同学”．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1. (　　)

(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． (　　)

(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”．

(　　)

[提示]　(1)错误．只有当A与B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.

(2)错误．

(3)错误．事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“至少有一个同学的成绩不高于60分”．

[答案]　(1)×　 (2)×　 (3)×

2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为(　　)

A．0.2　　　　　 B．0.8

C．0.4 D．0.1

B　[乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.]

3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

　[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.]

4．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________.

0.3　[因为P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)，

所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3.]

互斥事件、对立事件的概率公式及简单应用



【例1】　备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：

命中环数

10环

9环

8环

7环



概率

0.32

0.28

0.18

0.12



求该选手射击一次，

(1)命中9环或10环的概率；

(2)至少命中8环的概率；

(3)命中不足8环的概率．

[解]　记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10)．

(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.

(2)记“至少命中8环”为事件B． B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，

所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.

(3)记“命中不足8环”为事件C．则事件C与事件B是对立事件．

所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.

互斥事件、对立事件的概率公式的应用

(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．

(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．



1．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：

(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；

(2)小王数学考试及格的概率．(60分以上为合格，包含60分)．

[解]　设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．

(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，

所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.

(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，

所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.

互斥事件、对立事件的概率公式的综合应用



[探究问题]

1．若事件A和事件B为互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？

[提示]　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？

[提示]　P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

3．若事件A和事件B是对立事件，那么P(A)，P(B)有什么关系？

[提示]　P(A)＋P(B)＝1.

【例2】　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时，

(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．

[思路探究]　→

→

[解]　将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：

如图所示，本题中的样本点的总数为24.

(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，

则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝.

(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，

则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝.

1．求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．

[解]　由本例解析可知，设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，

所以P(C)＝＝.

2．求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．

[解]　法一：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件E为“这四人中有2人坐在自己 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为________．

　[设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，

则P(A)＝，P(B)＝.

记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，

则共有可能结果12种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．

甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1,4)，

故P(A∩B)＝；

所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.]

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