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3.1.1　椭圆及其标准方某某

【学习目标】

1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方某某．(重点)

2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方某某．(重点)

3.理解椭圆标准方某某的推导过程，并能运用标准方某某解决相关问题．(难点)

【自主学习】

1．椭圆的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距．

思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

（2）椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

2．椭圆的标准方某某

焦点在x轴上

焦点在y轴上



标准方某某

 )

＋＝1(a＞b＞0)



焦点

(－c,0)与(c,0)





a，b，c的关系

c2＝



【小试牛刀】

1．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　 　)

2．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　 　)

3．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　 　)

4．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　 　)

5．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)

A．4　　　 B．5

C．8 D．10

6．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方某某为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

【经典例题】

题型一　求椭圆的标准方某某

用待定系数法求椭圆标准方某某的一般步骤

(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．

(2)设方某某：根据上述判断设方某某＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．

(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方某某组．

例1 求满足下列条件的椭圆的标准方某某：

(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；

(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；

(3)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方某某．

[跟踪训练]1 求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方某某．

题型二　　利用椭圆定义求轨迹方某某

与椭圆有关的轨迹方某某的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，

1.定义法求轨迹方某某

如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方某某，这种求轨迹方某某的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．

2．代入法(相关点法)

若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方某某 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方某某，这种求轨迹方 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 D．(0,1)

已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(　　)

A．3∶5　　　B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3

4．方某某＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．

5．若方某某＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．

6.已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方某某为_ _．

7．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．

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