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第十八章 平行四边形

18.1.2 平行四边形的判定

第2课时 平行四边形的判定（2）

学习目标：1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.

2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.

重点：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.

难点：平行四边形的性质与判定的综合运用.



一、知识回顾

1.上节课我们学习了判定一个四边形为平行四边形的方法有哪几种？



要点探究

探究点1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

想一想 我们知道，两组对边分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？对于这个问题，有以下两种猜想：

猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形；

猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.这两种猜想对吗？如果不对，你能举出反例吗？

活动 如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？

猜一猜 经历了上面的活动，你现在能猜出，一组对边满足什么条件的四边形是平行四边形吗？

一组对边平__________________的四边形是平行四边形.

证一证

如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：连接AC.

∵AB∥CD， ∴∠1=∠2.

在△ABC和△CDA中,

AB=CD，

∠1=∠2， ∴△ABC_____△CDA(________).

AC=CA，

∴ BC=DA.

又∵AB= CD,

∴四边形ABCD是________________.

要点归纳：平行四边形的判定定理：一组对边________________的四边形是平行四边形.

几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,

∴四边形ABCD是平行四边形.

典例精析

例1如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．

变式题 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．

（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形.

针对训练

1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是 （　　）

A．AB∥CD，AB=CD

B．AB∥CD，BC∥AD

C．AB∥CD，BC=AD

D．AB=CD，BC=AD

2.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.

探究点2：平行四边形的性质与判定的综合运用

典例精析

例2 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？

例3 如图，将?ABCD沿某某A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边某某E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.

方法总结:此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=

∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.

针对训练

1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 =AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．

能力提升

6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．

（1）用含t的代数式表示：

AP=_____； DP=________；

BQ=________；CQ=________；

（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？

（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

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